Matematické Fórum

Fobl · 22. 12. 2012 14:51

Dobrý den.
Potřeboval bych pomoct.
Dělí snad jen 1/3 příkladu od zápočtu. Byla by to docela velká smůla, abych neměl nárok na zápočet, když už se mi samotnému povedlo jinak vše ostatní vyřešit.
Vím si rady s tím, jak ukázat, zda zobrazení je lineární a rozhodnout, zda dané zobrazení je izomorfismus, ale už mi nejde určit matici lineárního zobrazení v bázích.
Je dáno zobrazení L: M2,2 → P3 předpisem

L ([a b
c d]) = (a + 2b – c)x3 + (-a + 2c – d)x2 + (b + c + 2d)x + (3b + 2c + d).
(a) Ukažte, že zobrazení je lineární.
(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
B1 = 1 2 B2= 0 1 B3= 0 0 B4= 2 0
0 0, 2 0 1 2 0 1 prostoru M2,2,
p1(x) = x3 + x2 + x, p2(x) = x3 + x2 + 1, p3(x) = x3 + x + 1, p4(x) = x2 + x + 1 prostoru P3.
(c) Rozhodněte, zda dané zobrazení je izomorfismus.
Výsledky:
a) Zobrazení je lineární
b) A= 1/3 [-6 -7 -4 -1]
6 5 -7 -4
15 2 8 11
[ -3 14 11 -4]

c) Zobrazení není izomorfismus, protože KerL ≠ 0, prvek [-11 3
-5 1] ∈ KerL, matice A zobrazení L není matice regulární.

kompik · 23. 12. 2012 17:58 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:01)

↑ Fobl:
Skúsim ako prvú vec prepísať zadanie, lebo sa mi to nezdá moc čitateľné.

Je dáno zobrazení $L \colon M_{2,2}\to P_3$ předpisem
$L\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(a + 2b – c)x^3 + (-a + 2c – d)x^2 + (b + c + 2d)x + (3b + 2c + d)$

(a) Ukažte, že zobrazení je lineární.
(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
$B_1=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$ , $B_2=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ , $B_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&2\end{pmatrix}$ , $B_4=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ prostoru M2,2,
$p_1(x) = x^3 + x^2 + x$ , $p_2(x) = x^3 + x^2 + 1$ , $p_3(x) = x^3 + x + 1$ , $p_4(x) = x^2 + x + 1$ prostoru P3.
(c) Rozhodněte, zda dané zobrazení je izomorfismus.

Výsledky:
a) Zobrazení je lineární
b) $A=\frac13 \begin{pmatrix} -6 & -7 & -4 & -1 \\ 6 & 5 & -7 & -4 \\ 15 & 2 & 8 & 11 \\ -3 & 14 & 11 & -4 \\ \end{pmatrix}$

c) Zobrazení není izomorfismus, protože $\operatorname{Ker}L \ne 0$ , prvek $\begin{pmatrix}-11& 3\\-5& 1\end{pmatrix} \in \operatorname{Ker}L$ , matice A zobrazení L není matice regulární.

kompik · 23. 12. 2012 18:04 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:11)

kompik napsal(a):
(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
$B_1=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$ , $B_2=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ , $B_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&2\end{pmatrix}$ , $B_4=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ prostoru M2,2,
$p_1(x) = x^3 + x^2 + x$ , $p_2(x) = x^3 + x^2 + 1$ , $p_3(x) = x^3 + x + 1$ , $p_4(x) = x^2 + x + 1$ prostoru P3.

Nuž prvý krok by mal byť povedať, čomu sa rovná $L(B_i)$ pre i=1,2,3,4. (A potom sa ich snažiť vyjadriť pomocou tých polynómov.)

EDIT: Keďže v tom priestore P3 je veľmi pekná báza, človek si môže všimnúť, že $p_1(x)+p_2(x)+p_3(x)+p_4(x)=3(x^3+x^2+x+1)$ .

Z toho dostaneme:
$x^3=\frac{p_1(x)+p_2(x)+p_3(x)-2p_4(x)}3$
$x^2=\frac{p_1(x)+p_2(x)+p_4(x)-2p_3(x)}3$
$x=\frac{p_1(x)+p_3(x)+p_4(x)-2p_2(x)}3$
$1=\frac{p_2(x)+p_3(x)+p_4(x)-2p_1(x)}3$
Pomocou tohoto môžeme vcelku jednoducho previesť vyjadrenie polynómu v báze x^3,x^2,x,1 do vyjadrenia v báze p_1(x),...,p_4(x).

Fobl · 25. 12. 2012 18:17

↑ kompik:
Dobrý den.
Ještě přemýšlím nad tím, jak zjistím L(Bi) a výsledné matici A lineárního zobrození. Možná, že kdyby mně to béčko někdo ukázal, jak se to počítá, tak by mně to velice pomohlo. Např. pokud bych měl nějaký podobný příklad u zkoušky, tak bych poté už věděl, jak ho řešit.

kompik · 25. 12. 2012 18:52 — Editoval kompik (25. 12. 2012 18:52)

↑ Fobl:
$L(B_1)=5x^3-x^2+2x+6=\frac{-6p_1(x)+6p_2(x)+15p_3(x)-3p_4(x)}3$
Získali sme prvý stĺpec matice zobrazenia. (To či sa to píše do riadkov alebo do stĺpcov závisí od toho, či používame riadkové alebo stĺpcové vektory - v podstate je to vec konvencie, nejako ste to mali na prednáške zavedené.)

A zopakujem, že tu sme mali úlohu výrazne zjednodušenú tým, že bola zadaná veľmi pekná báza a vedeli sme ľahko vyjadriť $1,x,x^2,x^3$ .

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2012 14:51

Určení matice lineárního zobrazení v bázích

#2 23. 12. 2012 17:58 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:01)

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

#3 23. 12. 2012 18:04 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:11)

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

kompik napsal(a):

#4 25. 12. 2012 18:17

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

#5 25. 12. 2012 18:52 — Editoval kompik (25. 12. 2012 18:52)

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

Zápatí