Matematické Fórum

jarry · 27. 12. 2012 15:45

ahoj, potřeboval bych poradit jak vyřešit tuto limitu:
$\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x$
Mám dva možné způsoby řešení, ale nevím jestli jsou oba možné:
1. $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x = \lim_{x\to-\infty } \frac{(Abs(x^{2}+x))-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \lim_{x\to-\infty } \frac{-2x^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = +\infty$
2. $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x = \lim_{x\to+\infty }\sqrt{x^{2}-x}+x = x(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1) = +\infty$
Jak to vidíte vy??...díky

Bati · 27. 12. 2012 15:59 — Editoval Bati (27. 12. 2012 16:01)

Ahoj,
ten první způsob je totálně špatně. Ten druhý způsob je celý správně.

Správný postup je $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x=\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}+\lim_{x\to-\infty }-x$ , neboť obě limity jsou $+\infty$ .

střecha · 27. 12. 2012 16:44

můj návrh: 1) rozšířím a vytknu za použití vztahu $\sqrt{x^2}=|x|$ :
$\lim_{x\to -\infty } \sqrt{x^2+x}-x= \lim_{x\to -\infty } \frac{|x^2+x|-x^2}{\sqrt{x^2+x} +x}= \lim_{x\to -\infty } \frac{|x^2+x|-x^2}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} +x}$
2) teďka z vlastností absolutní hodnoty vím, že $(\forall x \in (-\infty; -1)) ((|x|=-x )\wedge (|x^2+x| = x^2+x))$
takže upravím limitu na:
$\lim_{x\to -\infty } \frac{|x^2+x|-x^2}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} +x} = \lim_{x\to -\infty } \frac{x}{(-x)\sqrt{1+\frac{1}{x}} +x} = \lim_{x\to -\infty } \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}} +1}$
V čitateli je konstanta, ve jmenovateli je něco co jde k nule zprava, takže výsledek je $+\infty$
může to tak být?

Bati · 27. 12. 2012 16:50

Jakékoliv rozšiřování je zbytečné. To se uplatní v případech, kdy je nějaký rozdíl dvou členů, z nichž jdou oba do plus nekonečna, což zde není.

jarry · 27. 12. 2012 18:30

↑ Bati:
Rozšiřování se podle toho, co vím já, uplatní v případě, pokud při vytknutí x z výrazu výjde výsledek nekonečno krát nula. To v tomhle příkladě podle mého názoru nastane $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x = \lim_{x\to-\infty } x (\sqrt{1+\frac{1}{x}} - 1) = -\infty * 0$ . Proto se podle mě dá i rozšířit jak píše Střecha. Jen já jsem si to zjednodušil přeznamínkováním, jenže mám strach, abych u toho nemusel uvést ještě nějaké předpoklady....

Bati · 27. 12. 2012 19:25

↑ jarry:
To je omyl, $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^{2}+x}-x =\lim_{x\to-\infty }\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac1x}-x=\lim_{x\to-\infty }|x|\sqrt{1+\frac1x}-x=\nl=\lim_{x\to-\infty }-x\sqrt{1+\frac1x}-x=\lim_{x\to-\infty }x$-\sqrt{1+\frac1x}-1$=-\infty\cdot-2=\infty$ .

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 15:45

Výpočet limity s odmocninou

#2 27. 12. 2012 15:59 — Editoval Bati (27. 12. 2012 16:01)

Re: Výpočet limity s odmocninou

#3 27. 12. 2012 16:44

Re: Výpočet limity s odmocninou

#4 27. 12. 2012 16:50

Re: Výpočet limity s odmocninou

#5 27. 12. 2012 18:30

Re: Výpočet limity s odmocninou

#6 27. 12. 2012 19:25

Re: Výpočet limity s odmocninou

Zápatí