Matematické Fórum

SoniCorr

Zdravím, mám takovou limitu funkce $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} (\pi -2x)^{cos(x)}$ . Vedel, by prosim nekdo jak resit?

Bati · 27. 12. 2012 23:12

Čau,
převést na exponencielu,
substituce $y=\frac{\pi}2-x$ ,
identita $\cos(\frac{\pi}2-x)=\sin(x)$ ,
známé limity $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ , $\lim_{x\to0+}x\cdot\log{x}=0$ ,
spojitost exponenciely,
výsledek.

SoniCorr · 28. 12. 2012 11:42

tak jsem to resil takhle, nejsem si jisty pak tim, kam jde ta limita po substituci $\lim_{x\to\frac{\pi }{2}-}e^{cos(x)ln(\pi -2x)}=\lim_{t\to0^{-}}e^{cos(\frac{\pi }{2}-t)ln(2t)}$ a to $\lim_{t\to0^{-}}e^{sin(t)ln2t\frac{2t-1}{2t-1}\frac{t}{t}}=\lim_{t\to0^{-}}e^{2t^2-t}=1$

Bati · 28. 12. 2012 11:55

Jestliže $t=\frac{\pi}2-x$ a $x\to\frac{\pi}2-$ , pak samozřejmě $t\to0+$ .
Ve výpočtu je hrubá chyba, ten logaritmus přece diverguje v pravém okolí nuly, není možné používat limitu $\lim_{x\to1}\frac{\log{x}}{x-1}$ , ale je třeba použít tu, kterou jsem už doporučoval dříve.

SoniCorr · 31. 12. 2012 17:03

okey, takže nakonec takhle $\lim_{x\to\frac{\pi }{2}-}e^{cosxln(\pi -2x)}=\lim_{t\to0+}e^{cos(\frac{\pi }{2}-t)ln2t}$ $\lim_{t\to0+}e^{sintln2t\frac{2t}{2t}}=\lim_{t\to0+}e^{ln2t\frac{2t}{2}}=1$

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 23:02 — Editoval SoniCorr (27. 12. 2012 23:02)

Limita funkce

#2 27. 12. 2012 23:12

Re: Limita funkce

#3 28. 12. 2012 11:42

Re: Limita funkce

#4 28. 12. 2012 11:55

Re: Limita funkce

#5 31. 12. 2012 17:03

Re: Limita funkce

Zápatí