Matematické Fórum

Akcope · 27. 12. 2012 19:19

Zdravím, mám následující příklad:

Napište definici limity funkce v nekonečnu a z této definice ukažte, že

$\lim_{x\to-\infty} x^{2}=+\infty$

Definice limity funkce v nekonečnu ze skript zní takto:

$\lim_{x\to-\infty} f(x)=l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x<-\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon )$

Vůbec netuším, jak to mám z této definice ukázat. Poradí někdo prosím? Díky.

Rumburak

↑ Akcope:

Ahoj.

Definice limity reálné funkce reálné proměnné má na elemantární úrovni výkladu několik variant (jednostranné limity nyní ignorujme) :

(1) VLASTNÍ (tj. konečná) limita ve VLASTNÍM (tj. konečném) bodě,

(2) NEVLASTNÍ (tj. nekonečná) limita ve VLASTNÍM bodě (ta má dvě podvarianty odpovádající hodnotám limity $+\infty$ nebo $-\infty$ ) ,

(3) VLASTNÍ limita v NEVLASTNÍM bodě (tj. v $+\infty$ nebo v $-\infty$ , což opět dává dvě podvarianty) ,

(4) NEVLASTNÍ limita v NEVLASTNÍM bodě (celkem čtyři podvarianty) .

Definice

$\lim_{x\to-\infty} f(x)=l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x<-\delta) (|f(x)-l|<\varepsilon)$

nebo ekvivalentně

$\lim_{x\to-\infty} f(x)= l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in \mathbb{R})(x<-\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon)$

(pozor na nuance v zápisech - v Tvém je formální chyba) odpovídá případu (3) , ale Tebe zajímá případ (4) v podvariantě

$\lim_{x\to-\infty} f(x)= +\infty \Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x<-\delta )( f(x) >\varepsilon)$

resp.

$\lim_{x\to-\infty} f(x)= +\infty \Leftrightarrow (\forall K >0)(\exists D \in \mathbb{R})(\forall x<D) (f(x) > K)$ ,

jak bývá v některých učebnicích uváděno - obě tyto verse jsou spolu ekvivalentní .

POZNÁMKA.

Všechny varianty (1) - (4) včetně jejich podvariant lze pomocí pojmu "okolí bodu" spojit do definice jediné, snad jste to už probírali:

$\lim_{x\to a} f(x)=b \Leftrightarrow (\forall B \in U_b)(\exists A \in U_a)(\forall x \in A - \{a\}) (f(x) \in B)$ .

Zde $U_c$ je systém všech okolí bodu $c$ - za tato okolí můžeme brát

- všechny otevřené intervaly obsahující bod $c$ v případě, že $c$ je konečné reálné číslo ,

- všechny množiny tvaru $(u, +\infty)\cup \{+\infty\}$ v případě, že $c=+\infty$ ,

- všechny množiny tvaru $(-\infty, v)\cup \{-\infty\}$ v případě, že $c=-\infty$

a pro různé kombinace těchto případů dostame definice ekvivalentní elementárním definicím "s epsilony a deltami".

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 19:19

Definice limity funkce v nekonečnu

#2 28. 12. 2012 12:32 — Editoval Rumburak (28. 12. 2012 12:35)

Re: Definice limity funkce v nekonečnu

Zápatí