Matematické Fórum

LRJ1 · 28. 12. 2012 18:29

Zdravím, prosím o pomoc či radu, jak na tento příklad: $\int_{k}^{}\frac{x+y}{x^2+y^2}dx-\frac{x-y}{x^2+y^2}dy$ , kde k je kladně orientovaná kružnice se středem [0,0] a poloměrem 2. Graficky znázorněte křivku k. Pomocí Greenovy věty to nelze. Jak na to jít? Díky moc.

Tomas.P · 28. 12. 2012 19:40

↑ LRJ1:
Řešil bych to takto:

Parametrizace: $x=t$ , $y=\sqrt{4-t^2}$ , $t{\in}\langle-2,2\rangle$
Diferenciály fcí: $dx=1dt$ , $dy=-\frac{t}{\sqrt{4-t^2}}dt$
Dosazení za x, y, dx a dy: výsledek.

LRJ1 · 29. 12. 2012 11:22

Já jsem to počítal trochu jinak a také mi vyšlo něco jiného. Můj postup:
Jedná se o kružnici se středem v bodě [0,0] a poloměrem r=2, graficky je to tedy jasné.
Moje parametrizace by byla:
$x=2\cdot cos t$
$y=2\cdot sin t$
$t\in (0,2\pi )$
Výpočet:
$\int_{0}^{2\pi }\frac{2\cdot cos t+2\cdot sin t}{4\cdot cos^2 t+4\cdot sin^2 t}\cdot 2\cdot (-sin t)-\frac{2\cdot cos t-2\cdot sin t}{4\cdot cos^2 t+4\cdot sin^2 t}\cdot 2\cdot (cos t)dt$
To $2\cdot (-sin t)$ a $2\cdot (cos t)$ je derivace x podle t (dx), resp. y podle t (dy).
$4\cdot cos^2 t+4\cdot sin^2 t=4\cdot (cos^2 t+sin^2 t)=4\cdot 1=4$
Dále jsem postupoval takto:
$\int_{0}^{2\pi }\frac{2\cdot (cos t+sin t)}{4}\cdot 2\cdot (-sin t)-\frac{2\cdot (cos t-sin t)}{4}\cdot 2\cdot (cos t)dt=$
$=\int_{0}^{2\pi }(cos t+sin t)\cdot (-sin t)-(cos t-sin t)\cdot (cos t)dt=$
$=\int_{0}^{2\pi }(-sin t\cdot cos t-sin^2 t-cos^2 t+sin t\cdot cos t)dt=$
$=\int_{0}^{2\pi }-1\cdot (sin^2 t+cos^2 t)dt=$
$=-1\cdot \int_{0}^{2\pi }1dt=$
$=-1\cdot [t]_{0}^{2\pi }=$
$=-1\cdot (2\pi -0)=-2\pi$
Prosím o kontrolu, popřípadě nápovědu. Děkuji mnohokrát.

jelena · 29. 12. 2012 17:41

Zdravím v tématu,

↑ Tomas.P:

řekla bych, že tato parametrizace zadává jen polovinu kružnice (horní a ještě je třeba se zaměřit na orientaci, myslím, že má být opačný směr, aby odpovídalo zadání). Pro dolní platí $x=t$ , $y=-\sqrt{4-t^2}$ a zde je orientace -2 až 2 v pořádku. Je tak? Děkuji.

↑ LRJ1:

v tom jsem chybu nenašla.

erzebet · 29. 12. 2012 18:09

Ja si myslim ze tam chybu nemas ani co sa tyka tej parametrizacie;) postupovala by som rovnako.

jelena · 29. 12. 2012 18:26

↑ erzebet:

Zdravím,

v postupu kolegy ↑ LRJ1: jsem také chybu nenašla - souhlasí? Moje poznámka ohledně parametrizace byla směrem ke kolegovi ↑ Tomas.P: (skrytý příspěvek jsem s dovolením obnovila). Není to chyba nebo špatný postup, ale, myslím si, že stoji za to prodiskutovat a případně doplnit, pokud je zájem. Děkuji.

LRJ1 · 29. 12. 2012 21:57

Mnohokrát děkuji. Od kolegy spolužáka jsem zjistil, že výsledek má být $-2\pi$ , takže OK. Díky moc.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2012 18:29

Křivkový integrál

#2 28. 12. 2012 19:40

Re: Křivkový integrál

#3 29. 12. 2012 11:22

Re: Křivkový integrál

#4 29. 12. 2012 17:41

Re: Křivkový integrál

#5 29. 12. 2012 18:09

Re: Křivkový integrál

#6 29. 12. 2012 18:26

Re: Křivkový integrál

#7 29. 12. 2012 21:57

Re: Křivkový integrál

Zápatí