Matematické Fórum

johnbumper · 26. 12. 2012 21:37

Kdo nechcete číst sloh přeskočte následující 3 odstavce a dozvíte se rovnou jak očíslovat reálná čísla přirozenými čísly. Pro ostatní čtivé:
Na přednáškách s vyčíslitelnosti jsem moc nedával pozor, ale jsou věci, které jsou v ní natolik zajímavé a nebo děsiví, že se mi o tom do dnes zdají sny nebo noční můry. O jedné takovéto věci, která má možná k vyčíslitelnosti blízko se chci dnes svěřit.
Jde o to, že ve všech předmětech se počítá buď s racionálními čísly a nebo někde s reálnými čísly. U těch je ale problém, že jich je nespočetně mnoho.
V prváku na cvičení z matematické analýzi nám učitelka řekla: Vymyslete, jak očíslovat všechna reálná čísla pomocí přirozených čísel.
Na základní a střední škole jsem si myslel, že přirozených je míň. V prváku matfyzu jsem si tím už jist nebyl, tedy do té doby než jsem pochopil nekonstruktivní důkaz, že je reálných čísel fakt víc. To mi vydrželo několik let.
Myslel jsem si, že ať už bych vymyslel jakékoli očíslování reálných čísel přirozenými, že bude schopná ta učitelka najít protipříklad.
Teď už ale vím o očíslování reálných čísel přirozenými, u kterých by ta učitelka nemohla nalézt protipříklad.

Matematické formule, důkazy a vše se píše pomocí znaků konečné abecedy. (Pro šťouraly to může být třeba 256znaková abeceda ve které je zdroják v TeXu nebo abeceda se znaky 0, 1 při jiném zápisu v počítači.)
Z nich lze udělat jediné číslo ve 256kové nebo 2kové soustavě. Každé matematické formuli odpovídá jedno číslo, chceteli zobrazení vzájemně jednoznačné, stačí vynechat čísla které nic nekódují a máte kódování, kde každé číslo kóduje formuli a každá formule lze zakódovat do čísla.

Tedy jsem pomocí přirozených čísel očísloval, všechny matematické zápisy, které kdy dokáží matematici zapsat. Tedy jsem pomocí přirozených čísel očísloval nejen všechny zlomky, ale i všechny čísla, která můžou vyjít jako výsledek rovnice, nebo jako výpočet používající intergrály nebo ... cokoli ... cokoli, co lze zadefinovat a pak zapsat má své číslo.

Tedy, pokud by mi v tom prvním ročníku na analýze chtěla učitelka vymyslet nějaký protipříklad, že mé očíslování reálných čísel neočíslovalo všechny čísla, tak by ten její protipříklad nefungoval ať už by byl jakýkoli, protože pokud ho konečně popsala, tak ho mé očíslování očísluje.

Zajímavé ne? Už nechci používat reálná čísla ani racionální čísla. Racionální jsou moc slabá a jak ukazuje moje vysvětlení, tak reálná čísla jsou nepoužitelně a nesmyslně příliš silná.

anes · 27. 12. 2012 02:12 — Editoval anes (27. 12. 2012 02:18)

Ahoj, já jsem z těch, kteří do vyčíslitelnosti (ještě?) úplně neprohlídli, ale přijde mi, že platnost toho tvrzení by mohla přinejmenším hodně záviset na tom, jak se zavedou pojmy.

Podle mě se totiž redukuje na otázku, jestli můžeš vyslovit větu "Existuje číslo, na které za celý svůj život nepomyslím" (což podle mě zavání axiomem výběru). Nějaký protipříklad asi těžko vymyslíš, ale že takové tvrzení neplatí bych si také netroufnul říct. Tedy aspoň z laického pohledu. Abych se o tomhle tématu mohl bavit na úrovni, bych si přecijen musel něco načíst. Přesto bych řekl, že tohle je kritický bod tvrzení, který by chtěl nějakou vysvětlivku.

Nebo je nějak jasné, že každé reálné číslo lze charakterizovat nějakým konečným popisem (ve smyslu, který by odpovídal představě "všechno najednou")? Díky.

johnbumper · 27. 12. 2012 10:44

Ahoj,

Netvrdím, že reálných čísel je spočetně. Je jasné, že není a důkazy nespočetnosti reálných čísel jsou v pořádku. Jen nejsou konstruktivní.

To, co já tvrdím je, že reálných čísel, které může člověk potkat je jen spočetně. Ano existuje tedy nespočetně mnoho reálných čísel, které jsem neočísloval, ale na žádné z nich si člověk nebude moct nikdy sáhnout. Proto mi přijdou reálná čísla jako zbytečně silná struktura.

To jak se zavedou pojmy je důležité. Lidské přirozené jazyky jsou problematické a existují v něm popisy jako "nejmenší přirozené číslo, která se nedá popsat 30 slovy", přestože tento popis má méně než 30 slov.
Nechtěl jsme zacházet do detailů, ale toto se dá vyřešit tím, že se použije nějaký konkrétní jazyk.

Můžeme se například omezit na zdrojové kódy v jazyce pascal (nebo v jiném programovacím) pro počítač s neomezenou pamětí, které vypisují reálná čísla na neomezené množství cifer. (Třeba tak, že se počet cifer zadá na vstup a nebo tak, že budem uvažovat programy, které se nikdy nezastaví a vypisují stále další cifry.)

Moje doměnka pak je, že všechny reálná čísla, které může kdokoli potřebovat, lze vyčíslit takto programem. To ale souvisí (a možná je ekvivalentní) s Church-Turingovou tezí, která, pokud vím, nebyla dokázána.

check_drummer

↑ johnbumper:
Ahoj, záleží na abecedě kterou používáš - pro libovolné reálné číslo R samozřejmě existuje očíslování reálných čísel takové, že R je prvkem tohoto očíslování. Dokonce lze jen rozšířit nějaká existující očíslování tak, že rozšíříme abecedu o nový prvek * (1) a tímto prvkem * označíme číslo R. Ano, jedním očíslováním všechna reálná čísla nevyjádříme, ale s libovolným (pevným) reálným číslem můžeme pomocí tohoto očíslování pracovat - tedy neexistují apriori "nepřístupná" reálná čísla. Takže usmyslím-li si, že chci s libovolným (konkrétním) reálným číslem R pracovat, tak mohu. Ostatně, pokud bych nemohl, pak by analytická geometrie byla "slabší" než geometrie klasická, což není.

Edit:
(1): Dokonce to jde i bez změny abecedy - stejně jako pan Hilbert ubytovával v hotelu hosty. :-)

check_drummer · 27. 12. 2012 23:47

↑ johnbumper:
Ahoj, ještě k reálným číslům - jejich konstrukce nám "ulehčuje život". Asi by bylo možné mnoho úvah provést místo s reálnými jen s racionálními čísly (nebo s racionálními + "očíslovanými"), ale museli bychom při obecných tvrzeních uvádět mnoho dodatečných předpokladů, např. "Rosoucí omezená posloupnost by měla limitu jen někdy", apod. Jde o to, že mnoho tvrzení např. v analýze nepracuje s konkrétním reálným číslem, ale s obecným reálným číslem / jejich posloupností, apod. A uvažovat reálná čísla situaci zpřehledňuje a usnadňuje. Navíc máme pěkný model reálných čísel a to je "přímka", je to model skoro "ze života", možná i proto lze postupy z analýzy pěkně aplikovat v praxi. Přestože v praxi jsme nuceni někdy (často) provádět jisté aproximace oproti získaným výsledkům výpočtů, je to přece jen pohodlnější, než reálná čísla zavrhnout a používat jen racionální+"očíslovaná". Navíc by byl problém, že očíslování by mohl mít každý jiné...
Ovšem na druhou stranu lze reálná čísla chápat v některých případech i jako jakousi aproximaci a zjednodušení diskrétního prostoru o mnoha prvcích (sumu o obrovském počtu členů nahradíme pěkným integrálem, apod.).

johnbumper · 28. 12. 2012 12:12

check_drummer:
Musím říct, že máš pravdu. Důsledky na analýzu jsem nepromýšlel.
To, že obecná posloupnost očíslovaných čísel by nemusela mít limitu mezi očíslovanými posloupnostmi je pravda. Při vhodně zvoleném očíslování by ale každá analyticky zapsaná posloupnost očíslovaných čísel měla limitu očíslovanou.
Mám pocit, že by to analýzu zkrásnilo, kdyby se mohli uvažovat jen věci, které se dají analyticky zapsat. Chápu ale, že by se analýzníci cítili ochuzení.

Proto jsem rád, že studuju informatiku a ne matematiku.

vanok · 28. 12. 2012 20:10

Pozdravujem
Tu je zaujimavy pripevok
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(mathematics)#The_place_of_constructivism_in_mathematics

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2012 21:37

vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#2 27. 12. 2012 02:12 — Editoval anes (27. 12. 2012 02:18)

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#3 27. 12. 2012 10:44

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#4 27. 12. 2012 19:28 — Editoval check_drummer (28. 12. 2012 00:08)

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#5 27. 12. 2012 23:47

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#6 28. 12. 2012 12:12

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

#7 28. 12. 2012 20:10

Re: vyčíslitelnost - neuvěřitelné !!! - všeho je spočetně

Zápatí