Matematické Fórum

freak · 29. 12. 2012 00:29

Dobrý den, mám rovnici $y'=xy+y^{2}.e^{-\dfrac {x^{2}} {2}}$ a mám u ní dva úkoly.

1) Načrtněte množinu, na které budete mít zaručenou existenci (a jednoznačnost) řešení počáteční úlohy pro tuto rovnici alespoň na nějakém okolí bodu z počáteční podmínky.

Vím že existence se zjistí jako definiční obor funkce a jednoznačnost je parciální derivace podle y. Ale už vůbec nevím jak z toho mám udělat množinu a jaký vliv má na tuto množinu "okolí bodu z počáteční podmínky". Mohl by mi prosím někdo vysvětlit jak toto okolí bodu zjistím? Pokud možno co nejsnadněji, něco sem našla na googlu, ale z toho moc moudrá nejsem. :(

2)Určete obecné řešení.

Při pohledu na rovnici si myslím že je to Bernoulliova rovnice, upravím si ji tedy podle tohoto postupu:
$y'=a\left( x\right) y+b\left( x\right) y^{r}$ tuto rovnici vynásobím $y^{-r}$ a použiji substituci $Z=y^{1-r}$ moje substituce vypadá takto (nevím ale jestli je dobře) $Z=y^{3}$

Po úpravě vypadá vzorec takto $Z'=\left( 1-r\right) a\left( x\right) z+b\left( x\right) \left( 1-r\right)$
dál řeším jako lineární ODR.
Udělám si homogenní dif.rci: dosadím do $y'=a\left( x\right) y$ , moje dosazení vypadá takto $z'=3xz$
Po zintegrování a úpravě mi vyjde $Z=C\cdot e^{\left( \dfrac {3x^{2}} {2}\right) }$ a v tento moment už nevím jak dál pokračovat. Nevím jistě jestli v mém postupu není chyba, prosím tedy o kontrolu postupu a alespoň o naznačení jak dál pokračovat.

Tomas.P

↑ freak:
Postup(Bernoulliova rce):
1. úprava na tvar $y'+p(x)y=q(x)y^s$ :
$y'-xy=e^{-\frac{x^2}{2}}y^2 /{\cdot}y^{-2}$
(1) $y^{-2}y'-xy^{-1}=e^{-\frac{x^2}{2}}$
2. substituce $z=y^{-1}=\frac{1}{y}$
3. formální výpočet derivace $z'=-y^{-2}y'{\Rightarrow}y^{-2}y'=-z'$
4. dosazení do (1) $-z'-xz=e^{-\frac{x^2}{2}} /{\cdot}(-1)$
5. lineární dif. rce 1.řádu (2) $z'+xz=-e^{-\frac{x^2}{2}}$ , kde $a(x)=x$ a $b(x)=-e^{-\frac{x^2}{2}}$
6. řešení
a) roznásobení (2) výrazem $e^{{\int}x{\cdot}dx}=e^{\frac{x^2}{2}}$
$$z{\cdot}e^{\frac{x^2}{2}}$'=-e^{-\frac{x^2}{2}}{\cdot}e^{\frac{x^2}{2}}=-1$
b) po integraci vychází $z{\cdot}e^{\frac{x^2}{2}}=-x+C{\Rightarrow}z=\frac{-x+C}{e^{\frac{x^2}{2}}}$
c) zpětná substituce $z=\frac{1}{y}{\Rightarrow}y=\frac{1}{z}=\frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{-x+C}$ .