Matematické Fórum

rexous · 27. 12. 2012 18:13

Z toho jsem úplně mimo, tak za cokoli budu rád.
zadání: Znázorněte v Gaussově rovině pravidelný 38úhelník (zvolte vhodný poloměr kružnice opsané). Označte S1 součet druhých mocnin velikostí všech jeho stran a S2 součet druhých mocnin velikostí všech jeho úhlopříček a určete S=S1+S2.
Díky všem

Brano · 27. 12. 2012 19:17

Napriklad riesenia $z^{38}=1$ su vrcholy pravidelneho 38 uholnika.

rexous · 27. 12. 2012 19:31

↑ Brano:
Díky, ale pořád nic :-(

Bati · 27. 12. 2012 21:33 — Editoval Bati (27. 12. 2012 21:35)

Označím si $z_0,z_1\ldots,z_{n-1}$ vrcholy pravidelného n-úhelníku v Gaussově rovině s tím, že $|z_i|=1\quad\forall i=0,1,\ldots,n-1$ a $z_0=1$ . Potom platí následující vztahy:
$z_{i\:\text{mod}\:n}=z_1^i\quad\forall i\in\mathbb{Z}$ , $\overline{z}=z^{-1}$
Vyjádřím si součet S jako polovinu součtu vzdáleností na druhou přes všechny dvojice vrcholů. Polovinu proto, protože mi nezáleží na pořadí vrcholů ve dvojici (je to ta samá úsečka).
$S=\frac12\sum_{i,j=0,\ldots,n-1}|z_i-z_j|^2=$ To stačí upravovat a použít pár faktů o komplexních číslech.

Zbytek řešení:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

rexous · 29. 12. 2012 11:27

↑ Bati:
Děkuju. Už jsem i něco nastudoval a přečetl. Jen midělá problém převést to do grafické podoby. Tak bych moc ocenil, kdyby ještě někdo píchnul. :-)

Rumburak

↑ rexous:
Pokud jde jen o grafické znázornění (a nikoliv přesné narýsování), pak postačí uvědomit si , že ke kořenům rovnice $z^{38}=1$
(a tedy k vrcholům odpovídajícího pravidelného 38-úhelníka vepsaného do jednotkové kružnice) patří reálná čísla $1$ a $-1$ ,
která jednotkovou kružnici půlí a jsou tedy v onom 38-úhelníku protilehlými vrcholy. "Horní" i "dolní" půlkružnici pak rozdělíme
na 19 rádoby stejných oblouků a jsme hotovi.

Bati · 29. 12. 2012 11:58

↑ rexous:
Myslím, že přesně zkonstruovat nepůjde. Pokud by totiž šel 38 úhelník narýsovat, tak pouhým spojením vrcholů ob dva dostaneme 19 úhelník, který ale podle http://en.wikipedia.org/wiki/Enneadecagon nejde narýsovat, což je spor.

Takže ho můžeš opravdu jen načrtnout a to už je na tobě, jak přesně to uděláš. Osobně bych to asi dělal přes ten 19 úhelník s tím, že pak najdu střed některé strany a "pootočím" ho. Ten načrtnu prostě tak, že si udělám co největší kružnici, odměřím si úhel $\frac{360}{19}^\circ$ a nanesu ho po kružnici dokola. Teoreticky se tak dopustím menší chyby, než kdybych rýsoval rovnou 38 úhelník a snažil se odměřit úhel $\frac{360}{38}^\circ$ .

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 18:13

pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#2 27. 12. 2012 19:17

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#3 27. 12. 2012 19:31

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#4 27. 12. 2012 21:33 — Editoval Bati (27. 12. 2012 21:35)

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#5 29. 12. 2012 11:27

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#6 29. 12. 2012 11:45 — Editoval Rumburak (29. 12. 2012 11:49)

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

#7 29. 12. 2012 11:58

Re: pravidelný 38-úhelník v Gaussově rovině

Zápatí