Matematické Fórum

nhoj · 28. 12. 2012 12:03

Ahoj, mám převedené rovnice na iterační tvar a nevím, jak mám pokračovat dál - asi nějakou tabulkou hodnot...potřebuji jenom nasměrovat :-)

$x^{(k+1)} = - 2/5 y^{(k)}- 2/5 z^{(k)}+10/5$
$y^{(k+1)} = -3/8 x^{(k+1)} - 2/8 z^{(k)}+0$
$z^{(k+1)}=-2/6 x^{(k+1)}-3/6 y^{(k+1)} + 7/6$

Díky!

Rumburak · 28. 12. 2012 13:09

Ahoj.

Řekl bych, že se má nalézt vhodná funkce $f$ tak, aby platilo $(x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}) = f(x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)})$ .

Funkce $f$ bude mít zřejmě tvar $f(\vec{u}) = (A\vec{u}^T + \vec{a}^T)^T$ , kde $A$ je matice typu (3, 3) a $\vec{u} , \vec{a}$ řádkové vektory z $\mathbb{R}^3$ .

nhoj · 28. 12. 2012 13:44

No já nevím, jestli tam půjde o funkci. Měla jsem jenom zadané 3 rovnice, sestavila jsem si z toho matici, tak, aby byla diagonálně dominantní a přepsala jsem jí na ten iterační tvar...dál by právě měla následovat ta tabulka, kde v prvním řádku má být - k a hodnoty 1,2,3...atd a v prvním sloupci - k, a pod tím x, y, z. A právě z toho iteračního tvaru rovnice, bych si měla vyplnit tu tabulku. A výsledek si z toho už vyčtu. Ale moc děkuji :-)

Rumburak

↑ nhoj:

Domíval jsem se, že iterační tvar je $(x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}) = f(x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)})$ s tím, že tvar funkce $f$ není podstatný,
ale to je opravdu jen moje domněnka, která není podloženo studiem.

nhoj · 28. 12. 2012 14:23

Nepochybuji o tom, že máš pravdu :-) My jsme se však učili tohle, ale určitě je více způsobů, jak se to dá zapsat a počítat, jenomže když máme zadaný přesný postup, tak s tím nic nemůžu dělat.

jarrro · 28. 12. 2012 14:26

ale aké je zadanie čo má byť odpoveďou na danú úlohu?

nhoj · 28. 12. 2012 15:01

2x + 3y + 6z = 7,
3x + 8y + 2z = 0,
5x + 2y + 2z = 10.

Mám takové zadání a mám to vypočítat Gauss-Seidelovou metodou. Výsledek by měl být (2,-1,1).

Rumburak · 28. 12. 2012 15:19

↑ nhoj:

Numerickými metodami jsem se nikdy nezabýval, ale ke GS metodě jsem našel namátkou např. toto,
ale je toho na webu i více.

nhoj · 28. 12. 2012 15:26

Už jsem se na internet dívala a snažila jsem se na to přijít - to, že jsem sem napsala je moje poslední možnost.

A to, co jsi našel je přesně ono - tabulka, ve které je zaznamenán průběh výpočtu a já potřebuji přesně tuto stejnou tabulku akorát s mými hodnotami a nevím, podle čeho to mám vypočítat, kde vzali ty hodnoty jako 0,1667 apod.

jelena · 28. 12. 2012 21:40 — Editoval jelena (30. 12. 2012 23:30)

↑ nhoj:

Zdravím,

ještě doplním ke kolegovi ↑ Rumburak: (kterého takto zdravím :-)

EDIT: následující komentář v tomto příspěvku obsahuje nesprávný návod k metodě - viz příspěvek kolegy pf.

Ty jsi v příspěvku 1 vyjádřila jednotlivé neznámé ze zadaných rovnic. Nalevo máš jednotlivé neznámé (x, y, z) pravda nevím, proč jsi vyjadřovala z rovnic směrem odzdola :-) Napravo vyjádření přes zbývající neznáme. Začneš volbou libovolného bodu (v odkazu zvolili x=0, y=0, z=0) a dosadili zvolené hodnoty do pravých stran rovnic, čímž nalevo dostali novou sadu (x, y, z) pro další krok výpočtu.
Tuto sadu opět použiješ do pravých stran a dostaneš další (x, y, z) pro nový krok. A tak pokračuješ až do řešení (nebo musíš mít nastaveno kritérium, s jakou chybou řešení hledáš).

Prakticky si to můžeš představit tak, že řešením soustavy je "jeden bod"="průsečík rovin zadaných pomocí rovnic v soustavě". Vyjdeš z některého bodu - odněkud vyjít musíš (zde z bodu (0, 0, 0)) a po rovinách jdeš ke svému cíli.

K odkazu od kolegy zdá se mi tento hodně podrobný a dobří čitelný. Podaří se dokončit? Děkuji.

nhoj · 29. 12. 2012 11:01

↑ jelena:

Mockrát děkuji. Máš pravdu, že to byl nesmysl si to vyjadřovat odzdola, takže jsem to přepočítala a vyšly mi rovnice:
$x^{(k+1)}=3,5-1,5y^{(k)}-3z^{(k)}$
$y^{(k+1)}=-0,375x^{(k+1)}+0,25z^{(k)}$
$z^{(k+1)}=5-2,5x^{(k+1)}-y^{(k+1)}$

Kritérium: $\varepsilon =0,05$

Takže když $k=0 \Rightarrow (0,0,0)$ a dále následuje $k=1 \Rightarrow (3,5;-1,3125;-2,4375)$ ? Je to správně? A pokud ano, tak se už ale nedostanu k výsledku (2,-1,1).

jelena · 29. 12. 2012 11:27

↑ nhoj:

jen v rychlosti - nezdá se mi Tvé k=1 (to je pořadové číslo kroku, ne dosazování 1, 1, 1). Po k=0 (dosazování 0, 0, 0) máš dostat (3,5, 0, 5) (toto používáš za x, y, z napravo do dalšího kroku k=1) a výsledek by měl být jinak, než jsi napsala.

Úplně přesně bys měla dodržet podmínky konvergence (ryze diagonální matice A nebo pozitivně definitní) - viz teorie (odkazy nebo zde) a ověřit, zda je první zvolený bod (0, 0, 0) tuto konvergenci bude zaručovat - ale ve vašich úlohách obvykle bývá první bod zadán.

Zkus ještě pořádně projít teorii od začátku iteračních metod, ale řekla bych, že ještě nedosazuješ dobře. Ať se podaří.

nhoj · 29. 12. 2012 11:33

↑ jelena:

Tento výsledek mám z MathCadu a zadané jsme měli jenom rovnice a podmínku přesnosti. No nevím si s tím rady. Ale opravdu moc děkuji za pomoc!

jelena · 29. 12. 2012 13:59 — Editoval jelena (30. 12. 2012 23:31)

↑ nhoj:

není za co, jen není čas a je příliš slunečno. Zkusím to trochu uspořádat:

Zadání:
2x + 3y + 6z = 7,
3x + 8y + 2z = 0,
5x + 2y + 2z = 10.
----------------------
EDIT: následující komentář v tomto příspěvku obsahuje nesprávný návod k metodě - viz příspěvek kolegy pf.

skryto z důvodu chybného návodu k metodě Zobrazit/skrýt!

pf · 30. 12. 2012 01:18 — Editoval pf (30. 12. 2012 01:23)

nhoj napsal(a):
Mockrát děkuji. Máš pravdu, že to byl nesmysl si to vyjadřovat odzdola...

NEBYL to nesmysl. Aby Gauss-Seidelova iterační metoda konvergovala, musí matice soustavy splňovat jisté podmínky. Při vyjadřování odzdola je splněna jedna z možných podmínek, a sice řádková diagonální dominance. Obavám se, že všechny ostatní zmiňované způsoby zápisu divergují (nebo aspoň konvergenci nezaručují).

Petr

jelena · 30. 12. 2012 08:38

↑ pf:

Zdravím Vás a děkuji za postřeh. Mám ovšem dojem, že v ↑ prvním příspěvku: kolegyňka jen použila pořadí vyjádření z neupravené soustavy. Mělo by to dopad na konvergenci, pokud by soustava již byla upravena na vhodný tvar - je tak?

Co se týče mé úpravy a odvození ↑ příspěvek 14: - mám s tím ještě pracovat nebo může být použito pro výpočty? Děkuji.

pf · 30. 12. 2012 22:53

↑ jelena:

Rovněž zdravím. Ano, původní iterační rovnice od nhoj jsou z neupravené soustavy, ale to je v pořádku a přesně podle zadání - je to Gauss-Seidelova metoda použitá tak, že je zaručená konvergence, tj. z libovolné počáteční aproximace iterace konvergují k přesnému řešení.

Jakékoli úpravy můžou konvergenci rozhodit. Ve vašem příspěvku 1. soustava iteračních rovnic, domnívám se, nemá zaručenou konvergenci z libovolné počáteční aproximace a 2. soustava, opět domnívám se, také ne a už svým způsobem zápisu není Gauss-Seidelova metoda.

Petr

jelena · 30. 12. 2012 23:37

↑ pf:

děkuji za vysvětlení - do svých příspěvků jsem doplnila komentář ohledně chyby v návodu.

Nesprávně jsem se domnívala, že přehození jednotlivých řádků soustavy a provedené úpravy (tedy "příprava soustavy pro použití") naopak usnadní další výpočty, aniž by ovlivnila konvergenci (jelikož v praxi bych se soustavou pracovala až do její nejjednodušší podoby).

Doufám, že kolegyňka nemá úkol na zítřek, pošlu mail, ať se na Téma ještě podívá (techniku dosazování již snad zvládne).

Ještě jednou děkuji a omluva za zmatek v tématu.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2012 12:03

Iterační metoda

#2 28. 12. 2012 13:09

Re: Iterační metoda

#3 28. 12. 2012 13:44

Re: Iterační metoda

#4 28. 12. 2012 13:55 — Editoval Rumburak (28. 12. 2012 14:00)

Re: Iterační metoda

#5 28. 12. 2012 14:23

Re: Iterační metoda

#6 28. 12. 2012 14:26

Re: Iterační metoda

#7 28. 12. 2012 15:01

Re: Iterační metoda

#8 28. 12. 2012 15:19

Re: Iterační metoda

#9 28. 12. 2012 15:26

Re: Iterační metoda

#10 28. 12. 2012 21:40 — Editoval jelena (30. 12. 2012 23:30)

Re: Iterační metoda

#11 29. 12. 2012 11:01

Re: Iterační metoda

#12 29. 12. 2012 11:27

Re: Iterační metoda

#13 29. 12. 2012 11:33

Re: Iterační metoda

#14 29. 12. 2012 13:59 — Editoval jelena (30. 12. 2012 23:31)

Re: Iterační metoda

#15 30. 12. 2012 01:18 — Editoval pf (30. 12. 2012 01:23)

Re: Iterační metoda

nhoj napsal(a):

#16 30. 12. 2012 08:38

Re: Iterační metoda

#17 30. 12. 2012 22:53

Re: Iterační metoda

#18 30. 12. 2012 23:37

Re: Iterační metoda

Zápatí