Matematické Fórum

N3st4 · 31. 12. 2012 15:15 — Editoval N3st4 (31. 12. 2012 15:37)

Dobrý deň. Potreboval by som poradiť.
Predpokladajme diferencovateľnosť funkcií.
Máme funkciu $F:\mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R}$
Ďalej máme rovnicu:
$F(x,y)=0$
Potrebujem ju zderivovať. To by malo byť
$\nabla F(x,y)=0$
Správne?

Teraz to skúsme posunúť ďalej:
$y: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$
A rovnicu:
$F(x,y(x))=0$ , ktorú potrebujem zderivovať.
$\nabla F(x,y(x)) \cdot [\text{a sem čo? :)}]=0$
Je mi jasné, že ide o zloženú funkciu, ale netuším, čo znamená tá rovnica.
Ako sa myslí, že je zložená? $(y \circ F)(x_{1},x_{2})$ Toto je asi blbosť.
Ďakujem za rady.

jarrro · 31. 12. 2012 17:52

podľa reťazového pravidla je
$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}=\nl =\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y^{\prime}{$t$}$
lenže
$\frac{\partial F}{\partial t}=0$
teda
$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y^{\prime}{$t$}=0\nl y^{\prime}{$t$}=-\frac{\qquad\frac{\partial F}{\partial x}\qquad}{\qquad\frac{\partial F}{\partial y}\qquad}$
všade som uvažoval
$x{$t$}=t$

N3st4 · 31. 12. 2012 18:43

Vôbec nerozumiem prečo sa to derivovalo podľa t, keď t tam nikde nie je. Navyše $x\in \mathbb{R}$ si povýšil na funkciu $x: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, t \mapsto x(t)$ . Z akého dôvodu? Nemôžeš to zapísať cez Jakobiho matice?

jarrro · 31. 12. 2012 19:43 — Editoval jarrro (31. 12. 2012 19:45)

tak to je jedno ako to nazveš kľudne si vymysli iné písmeno
a ako inak by som použil vetu o derivovaní zloženej funkcie?
nie som veľmi maticový typ(čo považujem za veľkú nevýhodu) treba počkať na maticovo nadaných užívateľov

N3st4 · 31. 12. 2012 19:50 — Editoval N3st4 (31. 12. 2012 19:50)

Jasne, že to tak má výjsť, ale som mimo z toho postupu. A mimochodom:
Keďže x je reálne číslo -> $\frac{\partial x}{\partial t} =0$ a skoro to isté $\frac{\partial y}{\partial t} =0$
Takže vôbec tomu "t" nerozumiem.

jarrro · 31. 12. 2012 20:01

x aj y sú funkcie t
aby to bolo zrejmejšie tak máme funkciu
$F{$a,b$}$ premenných $a, b$
tá rovnicou
$F{$t,y{\(t$}\)}=0$ určuje funkciu
$y$
premennej
$t$
keď sa na to chceme pozrieť ako na zloženú funkciu, tak
tak to môžme zápisať ako
$F{$x{\(t$}, y{$t$}\)}$ čo je zrejme funkcia premennej t
ale predpokladali sme, že je to pre každé t nula, teda
derivácia sa rovná tiež nule,ale rovná sa za použitia reťazového pravidla aj tomu súčtu teda aj ten súčet sa rovná nule

((:-)) · 31. 12. 2012 20:10 — Editoval ((:-)) (31. 12. 2012 20:45)

↑ N3st4:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

N3st4 · 31. 12. 2012 20:24

↑ ((:-)):
Dá sa povedať, že ide aj o to, ale ja som chcel len vedieť ako sa to derivuje. Lebo mám tu potom niečo takéto:
$F_{1}(x,y_{1}(x),y_{2}(x))=0$
$F_{2}(x,y_{1}(x),y_{2}(x))=0$
A vyjadriť dané y-ony.

N3st4 · 31. 12. 2012 20:34 — Editoval N3st4 (31. 12. 2012 20:39)

Zrejme som to pochopil:
jarrro, máš tiež pravdu a je to zaujímavý prístup - trochu nad ním porozmýšľam.
Keďže je to zložená fcia:
$F(x,y(x))=0 \Rightarrow \nabla F(x,y(x))\cdot \nabla (x,y(x))=0$
Čo je ekvivalentné s tým súčtom. :))

Edit: nie je to ekvivalentné

N3st4 · 31. 12. 2012 20:38

Omg, lenže (x,y(x)) nezobrazuje do reálnych čísel takže tam má byť Jakobiho matica. Som mimo ...
// idem silvestrovať :D

jardofpr · 31. 12. 2012 21:47

ahojte

↑ N3st4:
k problému vyjadrenia $y$ -nov v
$F_{1}(x,y_{1}(x),y_{2}(x))=0$
$F_{2}(x,y_{1}(x),y_{2}(x))=0$

to nejde vždy, ale za splnených predpokladov sa dá použiť Veta o funkcii danej implicitne
zovšeobecnená pre funkcie typu
$F:\mathbb{R}^{n+m}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$
$(x,y):=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\mapsto F(x,y):=(F_1(x,y),\dots,F_m(x,y))$

pre vyjadrenie PARCIÁLNYCH DERIVÁCIÍ implicitných funkcií $y_1(x),\dots,y_m(x)$ :

Samotná veta hovorí, že ak $F$ (typu čo som tu opísal vyššie) je spojite parciálne diferencovateľná na otvorenej množine $D \subset \mathbb{R}^{n+m}$
a bod $(Z,W)\in D$ je taký, že $F(Z,W)=0$ a $\det{\frac{\partial \,F}{\partial \,y}}(Z,W)\neq 0$ ,

tak potom existujú okolia $U(Z)$ bodu $Z$ a $V(W)$ bodu $W$ , kde $U(Z) \subset \mathbb{R}^n$ a $V(W)\subset \mathbb{R}^m$ a spojite parciálne diferencovateľná funkcia

$g:U\rightarrow V$
$x=(x_1,\dots,x_n) \mapsto g(x):=(g_1(x),\dots,g_m(x))$

taká, že

$F(x,g(x))=0 \,\,\,,\,\,\,\forall x \in U(Z)$ a $F(x,y)\neq 0$ ak $y\neq g(x)$ , kde $(x,y)\in U\times V \subset D$ ,

a platí tam vzťah

$\frac{\partial \,g}{\partial \,x}(x)=-\bigg( \frac{\partial F}{\partial \,y} \bigg)^{-1}(x,g(x))\cdot \frac{\partial \,F}{\partial \,x}(x,g(x))$

použité označenie:

$\frac{\partial \,F}{\partial \,x}:=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial \,F_1}{\partial \,x_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{\partial \,x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \,F_m}{\partial \,x_1}&\cdots&\frac{\partial \,F_m}{\partial \, x_n}\end{array}\right)$ $\frac{\partial \,F}{\partial \,y}:=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial \,F_1}{\partial \,y_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{\partial \,y_m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \,F_m}{\partial \,y_1}&\cdots&\frac{\partial \,F_m}{\partial \, y_m}\end{array}\right)$ $\frac{\partial \,g}{\partial \,x}:=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial \,g_1}{\partial \,x_1}&\cdots&\frac{\partial g_1}{\partial \,x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \,g_m}{\partial \,x_1}&\cdots&\frac{\partial \,g_m}{\partial \, x_n}\end{array}\right)$

v tvojom probléme je $n=1$ a $m=2$