Matematické Fórum

erzebet

Ahojte, potrebovala by som pomoc s tymito dvomi radami:
1) urcit ci rada $\sum_{1}^{\infty } \frac{n^{n+1/n}}{(n+(1/n))^n}$ konverguje alebo diverguje.
2)urcit obor konvergencie $\sum_{1}^{\infty } (x^n)*tg(\frac{x}{2^n})$

Vopred diky za rady;))

Marbulinek

Budem sa venovať prvému príkladu, stačí overiť zlaté pravidlo nutnej podmienky konvergencie, a teda rad môže konvergovať, ak limita daného výrazu je rovná nule. V opačnom prípade diverguje..
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}} = 1 \Rightarrow \text{Rad diverguje}$

jardofpr · 02. 01. 2013 02:47

ahojte

↑ Marbulinek:

Riešenie prvého príkladu je ok, ale táto rovnosť $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}}$ je nezmysel

↑ erzebet:
k príkladu číslo 2: môžeš skúsiť Cauchyho odmocninové kritérium

spočítaj limitu $k(x) := \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|x^n\,\tan{\bigg(\frac{x}{2^n}\bigg)}\bigg|}$

(výsledkom je funkcia premennej $x$ )

v závislosti od $x$ potom určíš, kde platí $k(x)<1$ (to budú body, kde rad konverguje) a kde je $k(x)>1$ (body kde je rad divergentný)

tie body $x$ , kde bude platiť $k(x)=1$ , vyšetri samostatne dosadením týchto $x$ do pôvodného radu, ten už bude číselný (veľmi dobre bude fungovať napr. d'Alembertovo kritérium)

pre kontrolu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

erzebet · 02. 01. 2013 09:00

ja viem ako sa pocitaju polomery konvergencie len u tej dvojky neviem co s tym tangensom:D

jardofpr

↑ erzebet:

tak k tomu výpočtu $k(x)$

zvoľme $x$ a označme $a_n(x):=\frac{x}{2^n}$

je zrejmé že postupnosť $\{a_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}$ monotónne konverguje k $0$ pre každé zvolené $x$

potom určite pre každé zvolené $x$ existuje $N:=N(x)\in\mathbb{N}$ tak, že $\forall n>N\,:\, a_n(x) \in \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg)$

to znamená že:

1.) pre každé zvolené $x$ pre $\forall n>N=N(x)$ existujú hodnoty $\tan{(a_n(x))}=\tan{\bigg(\frac{x}{2^n}\bigg)}$ a má zmysel počítať limitu $k(x) := \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|x^n\,\tan{\bigg(\frac{x}{2^n}\bigg)}\bigg|}$

2.) pre každé zvolené $x$ bude pre dosť veľké $n$ platiť $|\tan{(a_n(x))}|=\tan{|a_n(x)|}$ , pretože

platí $y \in \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg)\Rightarrow |\tan{y}|=\tan{|y|}$ $(\bigstar)$

počítajme $k(x)$

platí $k(0)=0$

teraz nech $x \neq 0$ :

$k(x) := \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|x^n\,\tan{\bigg(\frac{x}{2^n}\bigg)}\bigg|} = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|x^n|\,\bigg|\tan{\bigg(\frac{x}{2^n}\bigg)}\bigg|}\stackrel{\bigstar}{=}\lim_{n \to \infty}|x|\bigg[\tan{\bigg(\frac{|x|}{2^n}}\bigg)\bigg]^{\frac{1}{n}}=$
$=\lim_{n \to \infty} |x|\mathrm{e}^{\frac{\ln{\tan{(\frac{|x|}{2^n})}}}{n}}=|x|\mathrm{e}^{\lim_{n \to \infty} \frac{\ln{\tan{(\frac{|x|}{2^n})}}}{n}}=|x|\mathrm{e}^{L}$

teraz limitu postupnosti $\frac{\ln{\tan{(\frac{|x|}{2^n})}}}{n}$ spočítame ako limitu reálnej funkcie premennej $y$ (určite prídeš na to prečo môžme) použitím l'Hospitalovho pravidla

$L=\lim_{y \to \infty} \frac{\ln{\tan{(\frac{|x|}{2^y})}}}{y}\stackrel{l'H}{=}\lim_{y \to \infty}\frac{1}{\tan{(\frac{|x|}{2^y})}}\cdot\frac{1}{\cos^2{(\frac{|x|}{2^y})}}\cdot\frac{-|x|\cdot\ln{2}}{2^y}=$
$\lim_{y \to \infty} \Big(\frac{|x|}{2^y}\cdot\frac{1}{\sin{(\frac{|x|}{2^y})}}\Big)\cdot\Big(-\frac{\ln{2}}{\cos{(\frac{|x|}{2^y})}}\Big)=1\cdot\frac{-\ln{2}}{1}=-\ln{2}$

teda $L=-\ln{2}$ a teda $k(x)=|x|\mathrm{e}^L=|x|\mathrm{e}^{-\ln{2}}=\frac{|x|}{2}$