Matematické Fórum

erzebet · 01. 01. 2013 19:41

Zadanie: Urcte fourierove koeficienty pre $f(x)=cos^2(x)$ na intervale $\langle-\pi,\pi\rangle$
Riesenie:
$a_{o}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} cos^2(x) dx=1$
$a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}( cos^2(x))*(cos(n*x)) dx=0$
-pre n= 1 $a_{0}=a_{n}=1$
$b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (cos^2(x))*sin(n*x) dx =0$
-pre n=1 $b_{n}=0$

Z toho mi vyjde ze $f(x)\approx 3/2$ co sa mi nezda dobry vysledok.
Nejaky napad? Rada?

kompik · 01. 01. 2013 20:24 — Editoval kompik (01. 01. 2013 20:28)

↑ erzebet:
Zo vzťahu
$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1$
vieme vyjadriť.
$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}2$

Toto by malo podľa mňa vyjsť ako výsledok.

Aj WolframAlpha hovorí, že koeficient pri $\cos2x$ by mal byť nenulový.

Keďže $\cos^2x$ je párna funkcia, všetky sínusové koeficienty by mali byť nulové.

erzebet · 01. 01. 2013 20:39

Okej:)
A ako sa dostanem k tomu prostrednictvom koeficientov? to ze sinusove su nulove to mi vyslo len tie kosinusove mi vysli 1 pre n=1 inak nula, nevies co s tym?

kompik · 01. 01. 2013 20:44

erzebet napsal(a):
Okej:)
A ako sa dostanem k tomu prostrednictvom koeficientov? to ze sinusove su nulove to mi vyslo len tie kosinusove mi vysli 1 pre n=1 inak nula, nevies co s tym?

Keď som to skúsil dať do WA tak píše, že $a_1=0$ .

A aj to vyzerá vcelku uveriteľne, lebo $\cos(\pi-x)=-\cos x$ , takže sa to bude dať rozdeliť na integrály, ktoré navzájom vypadnú. (Takéto zdôvodnenie by malo zafungovať pre všetky nepárne kosínové koeficienty.)

erzebet · 01. 01. 2013 21:12

A odkial sa teda dostanem k tomu clenu (0.5)cos(2*x) ktory si spominal vyssie? ked pre neparne sa to odcita a pre parne je to http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … +-pi+to+pi
co je nula.hm?

kompik · 01. 01. 2013 21:24

↑ erzebet:
tu zasa WA tvrdí, že to vyjde 1/2.

A nemal by to byť veľmi ťažký integrál - asi by som ho rátal tak, že použijem $\cos^2x=(\cos 2x-1)/2$ .

Skôr je zaujímavejšie ako sa odvodí ten vzorec, na ktorý si dala linku v predošlom poste. Ale hneď vidno, že ten vzorec nie je ok pre k=1, lebo vtedy je v menovateli nula.

erzebet · 01. 01. 2013 21:40

OK, skusim to este raz;) diky za radu:))

user · 01. 01. 2013 23:31

Jen dodám poznámku.
Ty integrály není vůbec potřeba počítat, pomocí vzorce máme přímo rozklad, jak napsal kolega ↑ kompik:. V zadání po nás chtějí nalézt koeficienty, a ty jsme našli.
$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}2$
A toto je výsledek.

Jen upozorním, že je třeba dát pozor na to, na jakém intervalu děláme rozvoj, kdyby to nebyla délka $2\pi$ , tak ty integrály počítat musíme.

erzebet · 02. 01. 2013 08:58

dakujem dakujem:))

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2013 19:41

fourier

#2 01. 01. 2013 20:24 — Editoval kompik (01. 01. 2013 20:28)

Re: fourier

#3 01. 01. 2013 20:39

Re: fourier

#4 01. 01. 2013 20:44

Re: fourier

erzebet napsal(a):

#5 01. 01. 2013 21:12

Re: fourier

#6 01. 01. 2013 21:24

Re: fourier

#7 01. 01. 2013 21:40

Re: fourier

#8 01. 01. 2013 23:31

Re: fourier

#9 02. 01. 2013 08:58

Re: fourier

Zápatí