Matematické Fórum

Ahoj, píšu hlavně ze zvědavosti, protože jsem narazil na jeden neřešitelný integrál, který má zajímavé řešení. :D Zní to jako hloupost, ale hned vysvětlím.

Zkrátka jsem řešil úlohu z fyziky a zasekl jsem se na tomhle integrálu. Tak jsem celou úlohu vyřešil jinak a řešení jsem měl správně. (Takže tu chyba není.) Nicméně mě to nedalo a zkusil jsem si zjistit kolik by ten integrál byl, což se mi stejně nepovedlo. :)

Ale čím víc uvažuju o tom řešení, tím víc mně přijde zajímavé, jak to vychází. Ono to na první pohled vypadá jako zbytečnost, ale když si to řešení jen na hrubo představím, tak se mi zdá zajímavé.



V prvé řadě mě překvapuje, že z výsledku lze vytknout "x". To by mohlo naznačovat, že výsledná funkce "F" je sumou zlomků s "y", ale v tom případě by její derivace nemohla vypadat takto.

Představím-li si ale, že výsledná funkce , pak je zřejmé, že . (Kvůli vytknutému "y" nemusím řešit skutečnost, že je tu i dolní mez.)

Když do původní funkce dosadím, tak vyjde , což je logické, protože se "x" vykrátilo. Ač to může znít až moc triviálně, tak z toho plyne, že ať už je zlomek "y/x" na jakémkoli místě unvitř funkce G(y), tak je vždy roven "1".

Tyto polynomy se mohou objevit uvnitř funkce G(y):









Další polynomy se ve funkci G(y) objevit nemohou, protože by narušily racionalitu výsledku - i π se musí nakonec vykrátit. Nicméně přiznávám, že nějaká pevná racionální čísla uvnitř G(y) být mohou, jen pro ně nevidím žádný důvod.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Na závěr připojím jen pár věcí:

1) Vážně doufám, že je tu někdo, kdo tu funkci dokáže vyřešit, přestože je závislá na dvou proměnných a musí jich tudíž existovat nekonečně mnoho. Vím o tom, ale třeba je v tom nějaká logika, kterou nevidím.

2) Tohle je poprvé, co jsem se snažil přijít na integraci nějaké funkce pozpátku. Třeba to dělám úplně blbě, takže sorry jestli jsem vás tím nějak urazil. ;)

3) Beru v potaz možnost, že ta funkce vůbec mít integraci nemusí. I to se stává a vím o tom. To mi nemusíte vysvětlovat.

4) Pokud vám to snad nějak pomůže, tak tenhle integrál popisuje jednu z vlastností koule.

To je vše
Díky za přečtení ;)

P. S. Teď když jsem si to po sobě přečetl, tak mě napadá, že "F(y)" se nemusí nutně rovnat "y*G(y)", spíš to bude "x*G(y)", protože to není proměnná a může být tedy snáze vytknuta. V tom případě je třeba brát v úvahu i dolní mez, což už je asi úplně nad lidské síly. :(