Matematické Fórum

Woaala · 01. 01. 2013 18:38

Ahoj snažím se učit a teď jsem se zasekl a nevím si s tím rady

Dokažte správnost známé konstrukce oskulačních kružnic ve vrcholech elipsy. (Vypočítejte poloměry křivosti elipsy ve vrcholech a porovnejte s konstrukcí.)

Rumburak

Ahoj. Vezměme elipsu o rovnici

$$\frac{x}{a}$^2 + $\frac{y}{b}$^2 = 1 , a, b > 0$

a některý z jejích vrcholů, například $B = [0, b]$ . V jeho okolí bude elipsa grafem funkce $f(x) := b\cdot\sqrt{1 - $\frac{x}{a}$^2}$ .

Dále uvažujme kružnici , která má s elipsou dotyk v bodě $B$ . Taková bude mít střed na ose $y$ a v okolí bodu $B$ bude
grafem funkce $g(x) := b - r + \sqrt{r^2 - x^2}$ . Její poloměr $r > 0$ hledejme tak, aby dotyk obou křivek byl maximálního řádu,
tj. aby bylo splněno

$\lim_{x\to 0} \frac {f(x) - g(x)}{x^k} = 0$

s co největší hodnotou přirozeného čísla $k$ . Tím získáme onu hyperoskulační kružnici s dotykem 3. řádu, tedy $k = 3$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2013 18:38

Analytická geometri

#2 02. 01. 2013 11:43 — Editoval Rumburak (03. 01. 2013 11:23)

Re: Analytická geometri

Zápatí