Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 12. 2012 20:32

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Kolmá projekce na rovinu

Ahoj mohli by jste mi prosím poradit, jak postupovat u řešení tohoto příkladu?

Ve vektorovém prostoru R3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y - 2z = 0.

Předem dík ;-)

Offline

 

#2 30. 12. 2012 00:19 — Editoval user (02. 01. 2013 02:16)

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Ahoj,
je vhodné použít toho, že určíš obrazy bazických vektorů. Zvolíš takovou bázi (označím $\mathcal{X}$), aby 2 vektory byly zároveň generátory roviny a 3 libovolný normálový vektor. Kolmá projekce normálového vektoru je nulový vektor a projekce libovolného vektoru z roviny je vektor sám.
Matice má proto v bázi $\mathcal{X}$ tvar:

$^\mathcal{X}A_{P^\perp }=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0

\end{pmatrix}$

Protože není zadáno v jaké bázi má být výsledek, tak lze použít tuto matici, pokud autor příkladu vyžaduje nějakou konkrétní bázi (například standardní), tak je do ní třeba výsledek převést.

Offline

 

#3 01. 01. 2013 20:59

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Nemohl bys to prosím více rozepsat, jak mám postupovat krok po kroku?
Výsledek by měla být matice:

5/6  -1/6  1/3
-1/6 5/6   1/3
1/3  1/3   1/3

Offline

 

#4 01. 01. 2013 22:34

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Řešení dostaneš, tak že si zvolíš bázi. Takže nejdřív provedu volbu báze, jak jsem to popsal ve svém prvním příspěvku.
2 vektory, které generují rovinu, například
$x_1=(2,0,1)\\
x_2=(0,2,1)$
Teď už ten třetí, který je na ně kolmý (při standardním skalárním součinu je vidět přímo ze zadání, jinak ho musíš nalézt výpočtem). Zvolím například:
$x_3=(1,1,-2)$
Báze ve které jsem uvedl výsledek je
$\mathcal{X}=(x_1,x_2,x_3)$.

Teď zbývá jen převést matici operátoru do standardní báze. Dovedeš to provést sám?

Offline

 

#5 02. 01. 2013 10:28

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Na převod do standardní báze by měl sloužit vzorec T * A * T^-1, ale stejně si s tím nevím rady. A jak jsi došel na vektory x1 a x2?

Offline

 

#6 02. 01. 2013 12:37

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Určil jsem je jako řešení rovnice
$x+y-2z=0$

Lze na to použít Frobeniovu větu.

Offline

 

#7 02. 01. 2013 13:16 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:17)

vanok
Příspěvky: 14418
Reputace:   741 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Poznamka:
Da sa pouzit tento znamy (pozri na poznamky z prednasky alebo skripta) vzorec
$p( \vec x)  = \vec x - \frac {( \vec x | \vec n)} {||\vec n||} \vec n$
kde $\vec n$ je jeden normalny vektor na danu rovinu.

Inac podobne priklady som  uz  na fore kompletne riesil.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#8 02. 01. 2013 13:37

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

↑ user:
Když vyřeším tu rovnici, tak mně vektory vyjdou (-1,1,0) a (2,0,1). Protože z = t a y = s, dopočítám x: x = -s + 2t. Když položím t rovno nule tak mně vyjde 1. vektor (-1,1,0) a když položím s rovno nule tak mně vyjde 2. vektor (2,0,1).
Kde dělám chybu?

Offline

 

#9 02. 01. 2013 13:55

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Chybu neděláš nikde, řešení není dané jednoznačně. Rovnici řeší i vektor, který jsi našel Ty. Protože leží v lineárním obalu vektorů, které jsem našel já ($(-1,1,0)=\frac12(x_2-x_1)$).
Vzorec pro převod operátoru máš dobře v tomto příspěvku ↑ slukin:, (za předpokladu, že T je správná transformace mezi bázemi).

Schválně si zkus spočítat matici převedením operátoru z báze, kterou jsem uvedl já:
$\mathcal{X}=(x_1,x_2,x_3)$
A báze, kterou sis zvolil ty
$\tilde{\mathcal{X}}=((-1,1,0),x_1,x_3)$
Výsledky budou stejné.

Offline

 

#10 02. 01. 2013 14:00

vanok
Příspěvky: 14418
Reputace:   741 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

↑ user:,
Poznamka
Nie je sravne povedat : řešení není dané jednoznačně
Skor povedz: riesenie je zavisle na vybratej baze. ( a pri tom ide o tu istu aplikaciu!).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#11 02. 01. 2013 15:33 — Editoval slukin (02. 01. 2013 15:34)

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Nemohl by jsi mi prosím ještě pomoct s převodem do té standardní báze? Pořád mi to nějak nevychází :-(

Offline

 

#12 02. 01. 2013 16:07

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

$^\mathcal{E}A^\mathcal{E}=\;^\mathcal{X}I^\mathcal{E}\;^\mathcal{X}A^\mathcal{X}\;^\mathcal{E}I^\mathcal{X}=\frac1{12}\begin{pmatrix}
2&0&1\\
0&2&1\\
1&1&-2

\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\
\end{pmatrix}
\cdot\begin{pmatrix}
5&-1&2\\
-1&5&2\\
2&2&-4

\end{pmatrix}$
Tohle dá po správném vynásobení výsledek.

Alternativně můžeš zkusit tento postup ↑ vanok:.

Offline

 

#13 02. 01. 2013 16:31

slukin
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

↑ user:

Konečně mi to vychází. Mockrát díky za pomoc a za trpělivost ;-)

Offline

 

#14 02. 01. 2013 16:52

vanok
Příspěvky: 14418
Reputace:   741 
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

↑ slukin:,
Preco neskusis, aspon pre porovnanie, metodu  co som navrhol.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#15 25. 11. 2014 17:07

janca361
.
Příspěvky: 3284
 

Re: Kolmá projekce na rovinu

Ahoj,
řeším taky kolmou projekci.
Uniká mi však to, jak vznikne
$^\mathcal{X}A_{P^\perp }=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0

\end{pmatrix}$

Umím zvolit vektory a jejich obraz v projekci.
Ale jak z toho udělat výše uvedenou matici?
Asi to nebude nic složitého, ale já prostě nevím.
Předem díky za osvětu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson