Matematické Fórum

slukin · 29. 12. 2012 20:32

Ahoj mohli by jste mi prosím poradit, jak postupovat u řešení tohoto příkladu?

Ve vektorovém prostoru R3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y - 2z = 0.

Předem dík ;-)

user · 30. 12. 2012 00:19 — Editoval user (02. 01. 2013 02:16)

Ahoj,
je vhodné použít toho, že určíš obrazy bazických vektorů. Zvolíš takovou bázi (označím $\mathcal{X}$ ), aby 2 vektory byly zároveň generátory roviny a 3 libovolný normálový vektor. Kolmá projekce normálového vektoru je nulový vektor a projekce libovolného vektoru z roviny je vektor sám.
Matice má proto v bázi $\mathcal{X}$ tvar:

$^\mathcal{X}A_{P^\perp }=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

Protože není zadáno v jaké bázi má být výsledek, tak lze použít tuto matici, pokud autor příkladu vyžaduje nějakou konkrétní bázi (například standardní), tak je do ní třeba výsledek převést.

slukin · 01. 01. 2013 20:59

Nemohl bys to prosím více rozepsat, jak mám postupovat krok po kroku?
Výsledek by měla být matice:

5/6 -1/6 1/3
-1/6 5/6 1/3
1/3 1/3 1/3

user · 01. 01. 2013 22:34

Řešení dostaneš, tak že si zvolíš bázi. Takže nejdřív provedu volbu báze, jak jsem to popsal ve svém prvním příspěvku.
2 vektory, které generují rovinu, například
$x_1=(2,0,1)\\ x_2=(0,2,1)$
Teď už ten třetí, který je na ně kolmý (při standardním skalárním součinu je vidět přímo ze zadání, jinak ho musíš nalézt výpočtem). Zvolím například:
$x_3=(1,1,-2)$
Báze ve které jsem uvedl výsledek je
$\mathcal{X}=(x_1,x_2,x_3)$ .

Teď zbývá jen převést matici operátoru do standardní báze. Dovedeš to provést sám?

slukin · 02. 01. 2013 10:28

Na převod do standardní báze by měl sloužit vzorec T * A * T^-1, ale stejně si s tím nevím rady. A jak jsi došel na vektory x1 a x2?

user · 02. 01. 2013 12:37

Určil jsem je jako řešení rovnice
$x+y-2z=0$

Lze na to použít Frobeniovu větu.

vanok · 02. 01. 2013 13:16 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:17)

Poznamka:
Da sa pouzit tento znamy (pozri na poznamky z prednasky alebo skripta) vzorec
$p( \vec x) = \vec x - \frac {( \vec x | \vec n)} {||\vec n||} \vec n$
kde $\vec n$ je jeden normalny vektor na danu rovinu.

Inac podobne priklady som uz na fore kompletne riesil.

slukin · 02. 01. 2013 13:37

↑ user:
Když vyřeším tu rovnici, tak mně vektory vyjdou (-1,1,0) a (2,0,1). Protože z = t a y = s, dopočítám x: x = -s + 2t. Když položím t rovno nule tak mně vyjde 1. vektor (-1,1,0) a když položím s rovno nule tak mně vyjde 2. vektor (2,0,1).
Kde dělám chybu?

user · 02. 01. 2013 13:55

Chybu neděláš nikde, řešení není dané jednoznačně. Rovnici řeší i vektor, který jsi našel Ty. Protože leží v lineárním obalu vektorů, které jsem našel já ( $(-1,1,0)=\frac12(x_2-x_1)$ ).
Vzorec pro převod operátoru máš dobře v tomto příspěvku ↑ slukin:, (za předpokladu, že T je správná transformace mezi bázemi).

Schválně si zkus spočítat matici převedením operátoru z báze, kterou jsem uvedl já:
$\mathcal{X}=(x_1,x_2,x_3)$
A báze, kterou sis zvolil ty
$\tilde{\mathcal{X}}=((-1,1,0),x_1,x_3)$
Výsledky budou stejné.

vanok · 02. 01. 2013 14:00

↑ user:,
Poznamka
Nie je sravne povedat : řešení není dané jednoznačně
Skor povedz: riesenie je zavisle na vybratej baze. ( a pri tom ide o tu istu aplikaciu!).

slukin · 02. 01. 2013 15:33 — Editoval slukin (02. 01. 2013 15:34)

Nemohl by jsi mi prosím ještě pomoct s převodem do té standardní báze? Pořád mi to nějak nevychází :-(

user · 02. 01. 2013 16:07

$^\mathcal{E}A^\mathcal{E}=\;^\mathcal{X}I^\mathcal{E}\;^\mathcal{X}A^\mathcal{X}\;^\mathcal{E}I^\mathcal{X}=\frac1{12}\begin{pmatrix} 2&0&1\\ 0&2&1\\ 1&1&-2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \ \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5&-1&2\\ -1&5&2\\ 2&2&-4 \end{pmatrix}$
Tohle dá po správném vynásobení výsledek.

Alternativně můžeš zkusit tento postup ↑ vanok:.

slukin · 02. 01. 2013 16:31

↑ user:

Konečně mi to vychází. Mockrát díky za pomoc a za trpělivost ;-)

vanok · 02. 01. 2013 16:52

↑ slukin:,
Preco neskusis, aspon pre porovnanie, metodu co som navrhol.

janca361 · 25. 11. 2014 17:07

Ahoj,
řeším taky kolmou projekci.
Uniká mi však to, jak vznikne
$^\mathcal{X}A_{P^\perp }=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

Umím zvolit vektory a jejich obraz v projekci.
Ale jak z toho udělat výše uvedenou matici?
Asi to nebude nic složitého, ale já prostě nevím.
Předem díky za osvětu.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2012 20:32

Kolmá projekce na rovinu

#2 30. 12. 2012 00:19 — Editoval user (02. 01. 2013 02:16)

Re: Kolmá projekce na rovinu

#3 01. 01. 2013 20:59

Re: Kolmá projekce na rovinu

#4 01. 01. 2013 22:34

Re: Kolmá projekce na rovinu

#5 02. 01. 2013 10:28

Re: Kolmá projekce na rovinu

#6 02. 01. 2013 12:37

Re: Kolmá projekce na rovinu

#7 02. 01. 2013 13:16 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:17)

Re: Kolmá projekce na rovinu

#8 02. 01. 2013 13:37

Re: Kolmá projekce na rovinu

#9 02. 01. 2013 13:55

Re: Kolmá projekce na rovinu

#10 02. 01. 2013 14:00

Re: Kolmá projekce na rovinu

#11 02. 01. 2013 15:33 — Editoval slukin (02. 01. 2013 15:34)

Re: Kolmá projekce na rovinu

#12 02. 01. 2013 16:07

Re: Kolmá projekce na rovinu

#13 02. 01. 2013 16:31

Re: Kolmá projekce na rovinu

#14 02. 01. 2013 16:52

Re: Kolmá projekce na rovinu

#15 25. 11. 2014 17:07

Re: Kolmá projekce na rovinu

Zápatí