Matematické Fórum

Kája2 · 03. 01. 2013 10:38

Ahoj, mohl by mi někdo jen říci, jak se postupuje při řešení těchto příkladů??Je dán nějaký vektorový prostor $V=[(2,8,9),(0,4,9),(8,10,12)]\subset \mathbb{R}^{3}$ (například).Má se najít nějaké báze toho prostoru a poté určit souřadnice vektoru $x$ vzhledem k bázi b, jestliže je $\langle x\rangle_{k.b.}=(2,4,8)$ (například).U té báze řeším úpravu matice (čili Gausova eliminace)??A u toho druhého nevím,jak se postupuju.Buud vděčný za koaždou radu.

Rumburak · 03. 01. 2013 11:32

Ahoj. Jdeš na to příliš "technicky" , ptáš se "jak se postupuje" a pod.
Ptej se "co je to báze vekt. prostoru", "co jsou to souřadnice vektoru vůči bázi" atd. Když Ti budou jasné
odpovědi na tyto otázky, snadno si z nich dáš dohromady i postupy.

Kája2 · 03. 01. 2013 12:34

↑ Rumburak:
Já mám právě v sešitě jen poznámku, že jde o poslopnost vektorů(ta báze) a k té souřadnici právě nic,ale u normálního vektoru vím.Ale jak to určit vzhledem k té bázi již nevím.

Rumburak

Báze $B$ vektorového prostoru $V$ je jeho podmnožina mající následující dvě vlastnosti:

- je lineárně nezávislá (neboli všechny její prvky jsou spolu lineárně nezávislé) ,
- jejím lineárním obalem v prostoru $V$ je celý prostor $V$ .

To je obvyklá DEFINICE báze. Dá se ukázat, že netriviální reálný vektorový prostor (který má aspoň dva prvky)
má nekonečně mnoho bází, ty všechny mají stejnou množinovou mohutnost, kterou nazýváme dimensí daného prostoru.
Když např. některá báze $B$ prostoru $V$ má pět prvků, pak i libovolná jiná báze téhož prostoru má pět prvků
a říkáme, že dimense prostoru $V$ je 5.

U prostoru $V$ konečné dimense $n \in \mathbb{N}$ lze její (konečnou) bázi vyjádřit jako konečnou posloupnost, např.

(1) $B = (\vec{b}_1, \vec{b}_2, ... , \vec{b}_n )$ .

Ke každému $\vec{x} \in V$ pak existuje právě jedna číselná *) posloupnost $(x_1, x_2, ... , x_n)$ taková, že

(2) $\vec{x} = x_1\vec{b}_1 + x_2 \vec{b}_2 + ... + x_n\vec{b}_n$ .

Zápis (2) se nazývá vyjádřením vektoru $\vec{x}$ vzhledem k bázi (1) , čísla $x_i , i = 1, 2, ..., n$ jeho souřadnicemi
při tomto vyjádření.

To je v podstatě všechno, co potřebuješ mít nastudováno k tomu, abys mohl řešit úlohy tohoto typu. Ostatní je věcí kreativity,
která roste se snahou a praxí. Zkus se nad problematikou znovu zamyslet v kontextu těchto informací, začni řešit nějakou
konkretní úlohu a na konkretní nejasnosti se ptej.

*) Předpokládám zde nejběžnější případ, kdy $V$ je vektorový prostor nad tělesem reálných čísel. V obecném případě
vektorového prostoru nad tělesem $T$ bychom měli $x_i \in T$ .