Matematické Fórum

drabi · 03. 01. 2013 13:27

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s tímto příkladem.

Navedl by mě prosím někdo? Díky za jakoukoliv radu

kompik · 03. 01. 2013 14:29

↑ drabi:
Pýtaš sa, či sa $GL_2(\mathbb Q)$ dá vygenerovať pomocou matíc $\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1&0\\0&a\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ .
Násobenie takýmito maticami zodpovedá riadkovým operáciam: Vynásobenie riadku konštantou a, pripočítanie jedného riadku k inému.
Vieš pomocou iba týchto úprav dostať z ľubovoľnej regulárnej matice jednotkovú?

vanok · 03. 01. 2013 14:51

Ahoj ↑ drabi:,
Pozdravujem tiez kolegu ↑ kompik:.
Pridavam, len malu poznamku:
Tvoj zoznam matic, sa da interpretovat geometricky, ako dilatacie a trasvekcie...co ti pomoze mat geometreicku viziu problemu.

drabi · 03. 01. 2013 16:38

↑ kompik:
ahoj, diky opet za reakci. Z regulerni matice se da temito operacemi vzdy vytvorit jednotkova matice. Tedy to funguje i naopak, ze z jednotkove matice takovymi operacemi vytvorim jakoukoliv regularni matici(?)

ahoj ↑ vanok:
dekuji take za reakci. Nejsem si uplne jista, jak to myslis. Mohl bys to trosku objasnit?

kompik · 03. 01. 2013 16:43

↑ drabi:
Keďže máme dané nejaké prvky, pomocou ktorých generujeme podgrupu, tak určite podgrupa generovaná týmito prvkami obsahuje aj inverzné prvky.

Teda ak pre každú maticu A viem nájsť matice E1,....,En uvedeného tvaru také, že $E_1E_2\dots E_n A=I$ , tak potom platí $A=(E_1E_2\dots E_n)^{-1}=E_n^{-1}\dots E_2^{-1}E_1^{-1}$ . Pretože všetky $E_i^{-1}$ patria do podgrupy, ktorá nás zaujíma, patrí tam aj prvok $A$ .

drabi · 03. 01. 2013 16:45

↑ kompik:
dekuji velice, ted je to tedy uz hotovo

kompik · 03. 01. 2013 16:51

Ale keby to z nejakého dôvodu človek chcel, tak by zrejme vystačil aj s kladnými mocninami tých matíc (bez inverzných prvkov):

$\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1/a&0\\0&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

WolframAlpha

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2013 13:27

generování GL(2,2)

#2 03. 01. 2013 14:29

Re: generování GL(2,2)

#3 03. 01. 2013 14:51

Re: generování GL(2,2)

#4 03. 01. 2013 16:38

Re: generování GL(2,2)

#5 03. 01. 2013 16:43

Re: generování GL(2,2)

#6 03. 01. 2013 16:45

Re: generování GL(2,2)

#7 03. 01. 2013 16:51

Re: generování GL(2,2)

Zápatí