Matematické Fórum

Emca21 · 03. 01. 2013 21:49 — Editoval Emca21 (03. 01. 2013 21:57)

$\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x\cdot sinx}-\frac{1}{x^{2}})$

Vedeli by jste nekdo jak na to? Ma to vyjit $\frac{1}{6}$ .

Prosim bez Lopitala.

Rumburak

Sluč zlomky. V čitateli dostaneš

$x - \sin x = \int_0^x (1 - \cos t)\, \mathrm{d}t = \int_0^x 2\,\sin^2 \frac{t}{2}\,\, \mathrm{d}t = 2\int_0^x \sin^2 \frac{t}{2}\,\, \mathrm{d}t$ .

Pak použij odhad $(1-\varepsilon) \left|\frac{t}{2}\right|\le \left|\sin \frac{t}{2}\right| \le \left|\frac{t}{2}\right|$ platný pro libovolná $\varepsilon \in (0, 1)$ , $t \in (-\delta_{\varepsilon}, \delta_{\varepsilon})$ ,
kde číslo $\delta_{\varepsilon} > 0$ závisí na volbě $\varepsilon$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Emca21 · 03. 01. 2013 22:07 — Editoval Emca21 (03. 01. 2013 22:26)

↑ Rumburak:
Diky za pomoc. Akorat pres integraly mi to moc nepomuze. Jeste je neberem a ze stredni si na ne moc nevzpominam. Takze i kdyz tvemu reseni rozumim, tak pouzit na to metodu, kterou dostatecne neovladam, si moc netroufam.

Bati · 03. 01. 2013 23:08

V podstatě jde o to ukázat, že $\lim_{x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}=\frac16$ , což ihned vyplývá z Taylorova rozvoje sinu: $\sin{x}=x-\frac16x^3+o(x^3)$ , ale nijak elementárně to myslím nepůjde, to by bylo podobné, jako bez l'Hospitala a ostatních známých limit odvozovat, že $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ .

Rumburak · 04. 01. 2013 10:38

↑ Emca21:

Pro případ, že by Tě ten postup "přes integrály" časem zajímal, jsem svůj předchozí příspěvek rozvedl poněkud podrobněji.

Emca21 · 04. 01. 2013 13:09

Dobre. Dekuji moc vsem za prispevky.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2013 21:49 — Editoval Emca21 (03. 01. 2013 21:57)

Limita

#2 03. 01. 2013 21:59 — Editoval Rumburak (04. 01. 2013 10:34)

Re: Limita

#3 03. 01. 2013 22:07 — Editoval Emca21 (03. 01. 2013 22:26)

Re: Limita

#4 03. 01. 2013 23:08

Re: Limita

#5 04. 01. 2013 10:38

Re: Limita

#6 04. 01. 2013 13:09

Re: Limita

Zápatí