Matematické Fórum

Marc27 · 04. 01. 2013 10:21

Ahoj, postupuji správně u řešení toho příkladu?
Je dána množina $M= \{(1,2,3-b,3),(1,2+a,4,6),(2,4,b-6,7),(1,2,2-a,2-b,1)\}\subset \mathbb{R}^{4}$ .V závisloti na parametrech a,b rozhodněte o lineární závislosti, resp. nezávislosti množiny.
Postupoval jsem takto:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 1 & 2+a & 4 & 6 \\ 2 & 4 & b-6 & 7 \\ 1 & 2-a &2-b &1 \\ \end{array} \right)$ .Postupnými úpravami jsem se dostal k tomuto tvaru: $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & a & 1-b & 3 \\ 0 & 0 & 3b-12 & 1 \\ 0 & -a &-1 &-2 \\ \end{array} \right)$ .Ve výsledku je, že M je závislá pro a=0 a b=6, ovšem nejde mi to z toho dostat.Napadlo mne příčíst k poslednímu řádku řádek druhý a pak k tomuto upravému řádku přičíst třetí.Bylo by to tak správně?

Tom83B · 04. 01. 2013 11:12

Ahoj,
zaprvé máš v tý úpravě chybu - 2. řádek by měl být 4-(3-b)=1+b

Postup, který popisuješ by byl správně, ale musíš si dát pozor, abys nepřičítal nulový řádek - tzn. při odčítání 3. řádku od 4 by jsi musel položit podmínku b různé od 0 a 4. Poté bys za b dosadil tyto hodnoty před úpravou, aby jsi ověřil, zda je množina závislá i pro ně.

Už potom, co odečteš 2. řádek od 4. ale vidíš, že na pozici 2,2 je pouze a. Pokud tedy a bude 0, tak vídíš, že 2., 3. i 4. řádek budou mít hodnoty pouze ve 3. a 4. sloupci, tzn víš, že tyto 3 vektory nemohou být lineárně nezávislé.
Stejně tak po přičtení 3. řádku bude 3. řádek (0, 0, 3b-12,1) a 4. (0, 0, b, 1). Pokud od sebe řádky odečteme, dostaneme vektor (0, 0, 2b-12, 0). Pokud tedy bude platit 2b-12=0, tzn. b=6, budou řádky stejné a vektory nebudou lineárně nezávislé.

Marc27 · 04. 01. 2013 11:22

↑ Tom83B:
Super, děkuji mockrát za ochotu ;-) je to vysvětleno báječně

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2013 10:21

Lineární závislost a nezávislost na parametru

#2 04. 01. 2013 11:12

Re: Lineární závislost a nezávislost na parametru

#3 04. 01. 2013 11:22

Re: Lineární závislost a nezávislost na parametru

Zápatí