Matematické Fórum

Gresthorn · 03. 01. 2013 23:08

Zdravím.

1. Neviete mi prosím poradiť ako integrovať integrál s kvadratickou iracionalitou keď nie je v menovateli zlomku? Vôbec neviem, čo s týmto:

$\int_{}^{}\sqrt{x^2 - 2x -1} dx$

2. Taktiež neviem ako začať tu:

$\int_{}^{}1/(x*\sqrt{1+x+x^2})$

APavlat · 04. 01. 2013 00:09

Ahoj,
my na to používáme Eulerovy substituce viz zhruba v půlce stránky. :)

user · 04. 01. 2013 01:39

Ahoj,
buď univerzální Euler, jak psal kolega.
Druhý se dá také řešit vytknutím x před odmocninu, následuje substituce 1/x, doplnění na čtverec a úpravu na integrál $\int\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\text{d}y$ , který se dá spočítat hyperbolickou substitucí (je to derivace hyperbolické funkce).
První by mohl jít po doplnění na čtverec pomocí per partes upravit na podobný druhému.

Gresthorn

Ten druhý aj vyšiel pomocou eulerových substitúcií, no ten prvý nie :(
Skúšal som aplikovať eulerovú substitúciu, ale všimol som si, že na tejto stránke (niekde za polovicou stránky) je navyše aj tá kvadratická časť spolu s odmocninou v substitúcii.

Položil som tak:

$\sqrt{x^2 - 2x -1} = x+1$

odkiaľ mi vyšlo, že:

$x= (t^2 +1)/(-2-2t); dx=(2-4t-2t^2)/(-2-2t)^2dt$

Dostal som tak integrál, ktorý sa ale podľa tohoto výsledku nezhoduje so skutočným výsledkom.... Neviete mi poradiť, kde som spravil chybu? Skontroloval som si to po sebe, ale asi stále niečo prehliadnem :(

010010 · 05. 01. 2013 02:24 — Editoval 010010 (05. 01. 2013 02:42)

↑ Gresthorn:

Ahoj.

Nezávisle na tebe, mám postup taký istý. Akurát substitúciu nemám (x+1) ale (x+t). Ale myslím že stačí len pokračovať.

$-1/2\int_{}^{}(t^2+2t-1)^2/(t+1)^2$

Čiže po upravení máme: $-1/2\int_{}^{}(t^2+2t-3+4/(t^2+2t+1)$
$\Rightarrow -\frac{1}{2}(\frac{t^3}{3}+t^2-3t)-2\int_{}^{}\frac{1}{t^2+2t+1}$

$-\frac{1}{2}(\frac{t^3}{3}+t^2-3t)+\frac{2}{t+1}$

Už len dosadiť

Tomas.P · 05. 01. 2013 19:55

user napsal(a):
První by mohl jít po doplnění na čtverec pomocí per partes upravit na podobný druhému.

Doplnění na čtverec je mi jasné ${\int}\sqrt{$(x-1)^2-2$}dx=|y=x-1|={\int}\sqrt{(y^2-2)}dy$ , ale úprava pomocí per partes ne. Předem děkuji za odpověď

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2013 23:08

Integral pod odmocninou

#2 04. 01. 2013 00:09

Re: Integral pod odmocninou

#3 04. 01. 2013 01:39

Re: Integral pod odmocninou

#4 04. 01. 2013 12:07 — Editoval Gresthorn (04. 01. 2013 12:08)

Re: Integral pod odmocninou

#5 05. 01. 2013 02:24 — Editoval 010010 (05. 01. 2013 02:42)

Re: Integral pod odmocninou

#6 05. 01. 2013 19:55

Re: Integral pod odmocninou

user napsal(a):

Zápatí