Matematické Fórum

terezka-1 · 03. 01. 2013 10:43

Prosím o zkontrolování. Mám vypočítat objem. $z=5-x^{2}-y^{2},z=4$ . Vyšlo mi 20 a nevím, jestli to mám dobře. Předem děkuji.

jelena · 04. 01. 2013 12:42

Zdravím,

mně vychází meze pro integrování: x od -1 do 1, y od $-\sqrt{1-x^2}$ do $\sqrt{1-x^2}$ , z od $4$ do $5-x^{2}-y^{2}$ , případně převod do válcových souřadnic. Shodujeme se v tom? Děkuji.

terezka-1 · 04. 01. 2013 13:51

↑ jelena:
Tak to mám blbě. Zkusím vypočítat s tvými mezemi. Díky.

jelena · 04. 01. 2013 13:59

↑ terezka-1:

to nemusíš tak definitivně považovat - je možné, že jsi rozdělila těleso na čtvrtiny a počítala jen čtvrtinu objemu (jelikož těleso je symetrické) nebo jiný postup, nebo já nemám dobře. Lepší je Tvé meze sem napsat (je možné, že téma zůstalo bez reakce, protože jen číselná hodnota se špatně kontroluje), děkuji.

terezka-1 · 04. 01. 2013 14:40

↑ jelena:
Snažila jsem se to rozdělit na čtvrtiny, takže jsem měla meze : $0\le x\le 1,0\le y\le \sqrt{1-x^{2}},4\le 5-x^{2}-y^{2}$ . Ale pak jsem se do toho nějak zamotala a vyšlo mi 20. Ale tušila jsem, že to je blbě. Kde mám chybu? Moc děkuji.

jelena · 04. 01. 2013 16:30

↑ terezka-1:

děkuji, to se mi zdá v pořádku (za čtvrtinu), také můžeš použit válcové souřadnice.

Jinak pro odhad, zda máš výsledek alespoň orientačně dobře, můžeš si představit objem tělesa, který počítáš - u Tebe je kupole vysoka h=1 ve tvaru rotačního paraboloidu nad kruhovou podstavou o poloměru r=1. Takový paraboloid je víc, než kužel se stejnou podstavou a výškou h=1, ale méně, než polokoule s poloměrem r=1. Tedy výsledek by měl být cca v rozmezí 1,2 až 2,4 "krychlových jednotek".

Případně kontrola zde nebo rozepiš, prosím, jak jsi počítala.

terezka-1 · 04. 01. 2013 17:04

↑ jelena:
Počítala jsem: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{4}^{5-x^{2}-y^{2}}dxdydz=$ a dostala jsem se k: $\int_{0}^{1}-\frac{\sqrt{1-x^{2}}(-2+2x^{2})}{^{3}}$ a teď nevím, jak dál. Prosím, poraď. Děkuji

jelena · 04. 01. 2013 17:49

↑ terezka-1:

ano, vyšlo mi to stejně. Samotný výpočet integrálů bude trošku pracnější (zde je sbírka metod pro takové typy), můžeš případně dojit až k řešení.

Zde je vidět, že převod do válcových souřadnic by dával pohodlnější výpočet. Převod mi vychází tak (pro celé těleso):
$\rho$ má meze 0 až 1
$\varphi$ má meze 0 až $2\pi$
$z$ má meze 4 až $5-\rho^2$ .

Zkoušela jsi převádět a souhlasí? Děkuji.