Matematické Fórum

Martty · 04. 01. 2013 12:44 — Editoval Martty (04. 01. 2013 13:53)

ahoj, ok tak jinak, chápu, že mi zde tento příklad nevyřešíte. Večer jsem dám svůj postup.

Určete extrémy na množině $f(x,y,z) = x^2 +y^2 + z^2 + 4y$
na množině $M=\{[x,y,z]\in R^3;(y+2)^2+ z^2=68,3x + y -4z= 49\}$

pro výpočet zvolím Lagrange...

tedy sestavím si rovnici kterou nazvu třeba funkce $\pi = x^2 +y^2 + z^2 + 4y + \lambda1 ((y+2)^2+ z^2 -68) + \lambda2 (3x + y - 4z - 49)$

jeli to dobře ?
a jak nyní určím \lambda1 či \lambda2
navedete mě? nebo nějaký vzorový příklad?

Děkuji

Stýv · 04. 01. 2013 13:38

nemohl

kompik · 04. 01. 2013 13:48 — Editoval kompik (04. 01. 2013 13:49)

↑ Martty:
Nie je moc ťažké prísť na to, že $f(x,y,z)=64+x^2$ . Teda vlastne chceme maximalizovať/minimalizovať x pri daných podmienkach - riešenie by sa malo dať nájsť geometricky.

Ale skôr predpokladám, že ste to dostali ako cvičenie v kapitole venujúcej sa extrémom funkcií viac premenných a Lagrangeovým multiplikátorom. Je to tak?

Martty · 04. 01. 2013 13:50

↑ Stýv:

díky, upraveno

Martty · 04. 01. 2013 13:52

↑ kompik:

ano, mělo by to jít přes lagrange ....

trošku jsem nastínil postup, ale nevim jak pak dále pokračovat :/

kompik · 04. 01. 2013 13:55 — Editoval kompik (04. 01. 2013 13:57)

Martty napsal(a):
↑ kompik:

ano, mělo by to jít přes lagrange ....

trošku jsem nastínil postup, ale nevim jak pak dále pokračovat :/

Mal by si vyrátať parciálne derivácie. (Možno budú o trošičku jednoduchšie, ak budeš rátať s $f=64+x^2$ , ale výsledok by mal vyjsť rovnaký.)
$\frac{\partial\pi}{\partial x}=2x+3\lambda_2$

$\frac{\partial\pi}{\partial y}=$ ?

$\frac{\partial\pi}{\partial z}=$ ?

kompik · 04. 01. 2013 14:07

Martty napsal(a):
navedete mě? nebo nějaký vzorový příklad?

Vzorových príkladov tu máš plné fórum, stačí skúsiť Google: vazane extremy site:matweb.cz. Prípadne vynechať obmedzenie na hľadanie len tu na fóre: vazane extremy.

Martty · 04. 01. 2013 14:10 — Editoval Martty (04. 01. 2013 14:17)

kompik napsal(a):
Martty napsal(a):
↑ kompik:

ano, mělo by to jít přes lagrange ....

trošku jsem nastínil postup, ale nevim jak pak dále pokračovat :/
Mal by si vyrátať parciálne derivácie. (Možno budú o trošičku jednoduchšie, ak budeš rátať s $f=64+x^2$ , ale výsledok by mal vyjsť rovnaký.)
$\frac{\partial\pi}{\partial x}=2x+3\lambda_2$

$\frac{\partial\pi}{\partial y}= 2y + 4 + (2y+ 4)\lambda 1 + \lambda 2$

$\frac{\partial\pi}{\partial z}= 2z + 2z\lambda 1 - z \lambda 2$

Takto?

kompik · 04. 01. 2013 14:16

Trochu odbočka - keď doplníme na štvorec a použijeme väzbu, tak dostaneme:
$f(x,y,z)=x^2+y^2+4y+z^2=x^2+(y+2)^2+z^2-4=x^2+68-4=x^2+64$
Namiestor funkcie $\pi$ teda môžeme rátať s funkciou
$F=x^2+64+\lambda_1((y+2)^2+z^2-68)+\lambda_2(3x+y-4z-49)$
Jednoduchšia funkcia -> jednoduchšie derivácie -> vyjdú jednoduchšie rovnice.

Martty · 04. 01. 2013 14:20

↑ kompik:

ok díky! vypadá to elegantněji :)

Večer to zkusím teď musím běžet

kompik · 04. 01. 2013 14:21

Martty napsal(a):
$\frac{\partial\pi}{\partial x}=2x+3\lambda_2$

$\frac{\partial\pi}{\partial y}= 2y + 4 + (2y- 4)\lambda 1 + \lambda 2$

$\frac{\partial\pi}{\partial z}= 2z + 2z\lambda 1 - z \lambda 2$
Takto?

Podľa mňa takto:

$\frac{\partial\pi}{\partial x}=2x+3\lambda_2$

$\frac{\partial\pi}{\partial y}= 2y + 4 + (2y+4)\lambda_1 + \lambda_2$
(Tu bola chyba v znamienku; namiesto (2y-4) má byť (2y+4).)

$\frac{\partial\pi}{\partial z}= 2z + 2z\lambda_1 - 4 \lambda_2$
(Asi preklep - namiesto 4 si tam mal z.)

****************

Teraz treba vyriešiť sústavu rovníc:
$2x+3\lambda_2=0$
$2y + 4 + (2y+4)\lambda_1 + \lambda_2=0$
$2z + 2z\lambda_1 - 4 \lambda_2=0$
$(y+2)^2+z^2=68$
$3x+y-4z=0$

Alebo ak pracujeme s $F$ namiesto $\pi$ , tak treba riešiť sústavu:
$2x+3\lambda_2=0$
$(2y+4)\lambda_1 + \lambda_2=0$
$2z\lambda_1 - 4 \lambda_2=0$
$(y+2)^2+z^2=68$
$3x+y-4z=0$

Martty · 04. 01. 2013 19:06 — Editoval Martty (04. 01. 2013 19:38)

↑ kompik:

vůbec nevim jak začít tu soustavu ...

asi hlavně spočítat lamdy?

podle wolframalpha

jsou kořeny

$\lambda 1 = -2; \lambda 2 = -8 x=12; y= -4, z= 8$

ale při testu jaksi wolfram nebudu moci použít :D

tak jsem zkusil vyjádřit

$x= \frac{-3\lambda 2}{2}$ $z= \frac{4\lambda 2}{2\lambda 1}$ $y= \frac{-4\lambda 1-\lambda 2}{2\lambda 1}$

a doplnit do poslední soustavy a jaksi mi to nevychází ...

kompik · 04. 01. 2013 20:21 — Editoval kompik (04. 01. 2013 20:23)

Riešime takúto sústavu:

kompik napsal(a):
Alebo ak pracujeme s $F$ namiesto $\pi$ , tak treba riešiť sústavu:
$2x+3\lambda_2=0$
$(2y+4)\lambda_1 + \lambda_2=0$
$2z\lambda_1 - 4 \lambda_2=0$
$(y+2)^2+z^2=68$
$3x+y-4z=0$

Z druhej rovnice vieme vyjadriť $\lambda_2=-(2y+4)\lambda_1$ .

Ak to dosadíme do tretej rovnice, tak máme:
$0=2z\lambda_1 - 4 \lambda_2=2z\lambda_1+8(y+2)\lambda_1=2\lambda_1(z+4y+8)$ .

Teda dostaneme dve možnosti: $\lambda_1=0$ . (Toto časom povedie k $x=0$ , teda to bude minimum.)
Druhá možnosť je $z+4y+8=0$ . Treba využiť posledné dve rovnice na dorátanie y a x.

kompik · 04. 01. 2013 20:27 — Editoval kompik (04. 01. 2013 20:27)

Ešte pridám, ako sa na to dá pozrieť geometricky. (Keby sme to chceli riešiť inak, nie pomocou multiplikátorov.)

Chceme maximalizovať $64+x^2$ . To znamená, že $x$ má byť čo najväčšie.

Súčasne má platiť $(y+2)^2+z^2=68$ , táto podmienka hovorí, že bod (y,z) leží na kružnici so stredom (2,0).

Pretože $3x=49+4z-y$ , tak na nájdenie čo najväčšieho $x$ by sme mali minimalizovať $4z-y$ . Ak sa pozeráme na premenné y a z v rovine, tak priamka tvaru $4z-y=\text{const}$ je priamka kolmá na vektor (4,-1). Aby sme našli bod na kružnici, kde je hodnota tejto konštanty minimálna, musíme zobrať bod na kružnici, ktorý je od stredu v smere vektor (-4,1). (Asi pomôže nakresliť si obrázok, aby to bolo vidno.)

Martty · 04. 01. 2013 22:20

↑ kompik:

Tak už něco mám! :)

podezřelé body:

$A[12;-4;8] B[\frac{-32}{3};0;-8]$

teď je dosadim do zadání a vypočítám funkční hodnotu?

kompik · 04. 01. 2013 22:26

↑ Martty:
Asi tak, akurát Wolfram vracia trochu iné hodnoty pre x.
maximum: http://tinyurl.com/aoc7q8s
minimum: http://tinyurl.com/b9wpwqc

Martty · 04. 01. 2013 23:06 — Editoval Martty (04. 01. 2013 23:11)

↑ kompik:

sakra tak to nevim kde se stala chybička :/

$3x = 4z - y$

$x = \frac{4z - y}{3}$

$x = \frac{4 (-8) - 0}{3}$

$x = \frac{4 (8) - (-4)}{3}$

kompik · 04. 01. 2013 23:24

Martty napsal(a):
↑ kompik:

sakra tak to nevim kde se stala chybička :/

$3x = 4z - y$

Má byť $3x = 4z - y+49$

Martty · 04. 01. 2013 23:25

↑ kompik:

děkuji moc, právě jsem to tak objevil a přepočítal, vychází!! :)

Moc děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2013 12:44 — Editoval Martty (04. 01. 2013 13:53)

extrémy funkce

#2 04. 01. 2013 13:38

Re: extrémy funkce

#3 04. 01. 2013 13:48 — Editoval kompik (04. 01. 2013 13:49)

Re: extrémy funkce

#4 04. 01. 2013 13:50

Re: extrémy funkce

#5 04. 01. 2013 13:52

Re: extrémy funkce

#6 04. 01. 2013 13:55 — Editoval kompik (04. 01. 2013 13:57)

Re: extrémy funkce

Martty napsal(a):

#7 04. 01. 2013 14:07

Re: extrémy funkce

Martty napsal(a):

#8 04. 01. 2013 14:10 — Editoval Martty (04. 01. 2013 14:17)

Re: extrémy funkce

kompik napsal(a):

Martty napsal(a):

#9 04. 01. 2013 14:16

Re: extrémy funkce

#10 04. 01. 2013 14:20

Re: extrémy funkce

#11 04. 01. 2013 14:21

Re: extrémy funkce

Martty napsal(a):

#12 04. 01. 2013 19:06 — Editoval Martty (04. 01. 2013 19:38)

Re: extrémy funkce

#13 04. 01. 2013 20:21 — Editoval kompik (04. 01. 2013 20:23)

Re: extrémy funkce

kompik napsal(a):

#14 04. 01. 2013 20:27 — Editoval kompik (04. 01. 2013 20:27)

Re: extrémy funkce

#15 04. 01. 2013 22:20

Re: extrémy funkce

#16 04. 01. 2013 22:26

Re: extrémy funkce

#17 04. 01. 2013 23:06 — Editoval Martty (04. 01. 2013 23:11)

Re: extrémy funkce

#18 04. 01. 2013 23:24

Re: extrémy funkce

Martty napsal(a):

#19 04. 01. 2013 23:25

Re: extrémy funkce

Zápatí