Matematické Fórum

Kája2 · 05. 01. 2013 11:53 — Editoval Kája2 (05. 01. 2013 11:56)

Ahoj, mohl bych se zeptat, jak bych postupovali u této úlohy?
Je dáno zobrazení $f:\mathbb{Z}^{2}_{7}\rightarrow \mathbb{Z}^{3}_{7};f(x,y)=(x+y,2x+y,3x+y)$ .Mám určit obraz homomorfismu,to jsem postupoval takto:
(Zde nevím, jestli má být f(x,y) nebo f(x,y,z),když zobrazuji do trojrozměrného postoru) $f(x,y)=(0,0,0)= (x+y,2x+y,3x+y)$ ,odtud mi vyšlo že, jak x,tak y je rovnou nule,čili $Kerf=\{(0,0,0)\}$ .A teďka si nejsem jistý u postupu při výpočtu obrazu tohoto homomorfismu.Šel jsem na to takhle: $Imf=[f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3})]=[f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)]$ .A nyní nevím, jak se pohnout dále.Mohl by mi někdo, prosím, poradit?

smatel · 05. 01. 2013 12:44 — Editoval smatel (05. 01. 2013 12:46)

Ahoj,
uvědom si, že obraz homomorfismu je lineární obal množiny všech vektorů prostoru $\mathbb{Z}^{3}_{7}$ , na které se něco zobrazí.

Dále platí, že obrazem množiny generátorů je množina generátorů obrazu. Tj. jako množinu generátorů si zvolíš pro jednoduchost kanonickou bázi, tj: $B_k=\{(1,0),(0,1)\}$ . Na vektory této báze provedeš $f$ a dle uvedené věty získáš množinu vektorů, které ti generují obraz. Můžeš zjistit, zda-li je to báze, případně ji vytvořit (ověřit LN možiny), a obrazem homomofismu $f$ je pak lineární obal této množiny genrátorů (resp. báze).

V tvém náznaku řešení je nějaká myšlenka, problém je v tom, že tam zobrazuješ trojsložkové vektory, zatímco dimenze prostoru, jehož vektory zobrazuješ, je pouze 2.

Kája2 · 05. 01. 2013 12:49

↑ smatel:
No on je ve výsledku právě ten trojsložkový vektor jako výsledek (je tam $Imf=[(1,2,3),(1,1,1)]$ ).Mě právě dělá problém, jak tam dávat ty složky.Jinak u toho jádra to mám dobře?

smatel · 05. 01. 2013 12:56 — Editoval smatel (05. 01. 2013 12:57)

Ahoj,
zobrazíš vektory kanonické báze prvního vektorového prostoru. První vektorový prostor je dimenze 2, lze tedy generovat takovouto kanonickou bází $B_k=\{(1,0),(0,1)\}$ .

Tyto vektory zobrazíš homomorfismem f a získáš vektory obrazu:
$f(1,0) = (1,2,3)$
$f(0,1) = (1,1,1)$
Dle věty kterou jsem psal výše vektory $(1,2,3)$ a $(1,1,1)$ generují obraz.
Tj. obraz homomorfismu je $\mathrm{Im} f = [(1,2,3),(1,1,1)]$

Mohlo by se stát, že zobrazením vektorů získáme lineárně závislé vektory, pak je lepší najít bázi a obraz homomorfismu určit jako lineární obal této báze.

Jádro jsem nepočítal, ale tvůj postup nezdá se být chybný.

Kája2 · 05. 01. 2013 13:06 — Editoval Kája2 (05. 01. 2013 13:16)

↑ smatel:
Děkuji moc!!Už tomu rozumím.A ještě bych se rád zeptal,ten výpočet jádra mám správně?
A kdybych zobrazoval ze čtyřrozměrného prostoru do třírozměrného, tak by by jádro bylo $Kerf(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$ a obraz $Imf[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)]$ ?

smatel · 05. 01. 2013 13:27

Zdravím,
to jaké by bylo jádro u čtyřrozměrného prostoru závisí na tom, jaký bude předpis homomorfismu atd..

Jádro homomorfismu $f: U\rightarrow V$ je množina $Ker f = \{u\in U, f(u) = 0 \}$ . Česky řečeno je to množina vektorů z prostoru U, jejíž vektory se zobrazí na nulový vektor..
Jenom drobnost - každý vektorový prostor má nulový vektor. Takže jádrem homomorfismu je buďto pouze nulový vektor, pak říkáme že homomorfismus má triviální jádro, ale jádrem může být i podprostor prostoru U. Ten zjistíš jako lineární obal množiny vektorů, kterou jsou řešením příslušné soustavy rovnic (jak máš v prvním příkladě - položil si složky předpisu homomorfismu rovny nule).

Ano kanonická báze, která by generovala prostor dimenze 4 by byla $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ . Tyto vektory bys příslušným předpisem pro homomorfismus zobrazil, našel bys bázi takto vzniklých vektorů a její lineární obal by byl obrazem daného homomorfismu.

Kája2 · 05. 01. 2013 13:42

↑ smatel:
Super děkuji moc!!!Ten obraz už chápu perfektně.Akorát teda,jestli se mohu zeptat, jak bych tedy vypočítal jádro u tohoto homomorfismu: $f(x,y,z,w)=(2x+y+z,x+2z+w,y+z+2w)$ .Tak bych dal $f(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$ ?

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2013 11:53 — Editoval Kája2 (05. 01. 2013 11:56)

Jádro a obraz homomorfismu

#2 05. 01. 2013 12:44 — Editoval smatel (05. 01. 2013 12:46)

Re: Jádro a obraz homomorfismu

#3 05. 01. 2013 12:49

Re: Jádro a obraz homomorfismu

#4 05. 01. 2013 12:56 — Editoval smatel (05. 01. 2013 12:57)

Re: Jádro a obraz homomorfismu

#5 05. 01. 2013 13:06 — Editoval Kája2 (05. 01. 2013 13:16)

Re: Jádro a obraz homomorfismu

#6 05. 01. 2013 13:27

Re: Jádro a obraz homomorfismu

#7 05. 01. 2013 13:42

Re: Jádro a obraz homomorfismu

Zápatí