Matematické Fórum

panvicka · 05. 01. 2013 10:28

Dobrý den, ráda bych se s Vámi poradila o jednom příkladu.

Nalezněte sinový rozvoj funkce f vzhledem k úplnému trigonometric-
kému systému a určete obor (stejnoměrné) konvergence, je-li:

f (x) = x − 1, x ∈ <0, 2),
3 − x, x ∈ <2, 4).

Obrázek mám jakžtakž nakreslený, taková stříška. Podobné příklady počítat umím, jen si myslím, že teď dělám něco špatně. Tedy počítám si:

$a_n =\frac{1}{2} \int_0^4 f(x)cos\big(\frac{xk\pi}{2}\big)dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (x-1)cos\big(\frac{xk\pi}{2}\big)dx+ \frac{1}{2} \int_2^4 (3-x)cos\big(\frac{xk\pi}{2}\big)dx$

v této chvíli si integrály rozdělím na 4 ale část s

$\frac{1}{2} \int_0^2 xcos\big(\frac{xk\pi}{2}\big)dx$

se mi nezdá moc vhodná na výpočet, podle wolframu vyjde výsledek se kterým bych si stejně nevěděla příliš rady (navíc tam bude 2x).

Postupuji správně?

jelena · 05. 01. 2013 11:41

Zdravím,

zatím bych řekla, že v pořádku. Na zápis $\int (x-1)\cos$\frac{xk\pi}{2}$\d x$ můžeš použit per partes $(x-1)=u$ , $\cos$\frac{xk\pi}{2}$=v^{\prime}$ . Nefunguje to? Případně přidej, prosím, co napsal Wolfram. Děkuji.

Brano · 05. 01. 2013 11:48

Zvacsa ked sa povie "sinusovy rozvoj" tak sa tym mysli, ze mas najprv tu funkciu vhodne rozsirit tak, aby bola neparna a potom vsetky cleny co obsahuju kosinus vypadnu. V tomto pripade by to bolo treba vhodne dodefinovat na $(-4,-2)$ a $[-2,0)$ .

panvicka · 05. 01. 2013 12:18

ten integrál mi vychází

$\frac{k\pi sin(k \pi)+2cos(\pi k)-2}{\pi^2 k^2}$

a to mi přijde jako úplně jiný výsledek než mi vycházeli doteď (což není žádné měřítko, zas tolik jsem toho nespočítala :))

Nejsem si jistá s tím co povídá Brano, protože princip tohodle mi zatím pořád zdárně uniká

jelena · 05. 01. 2013 13:31

↑ panvicka:

kolega ↑ Brano: to povídá dobře, protože pozorně čte (a i jinak povídá dobře, což mně nepřísluší hodnotit). V zadání je "sinový rozvoj" - tedy dle kolegy ↑ Brano: (já jsem vzala úplný systém a že potřebuješ jen část s kosinem (integrál v rozvoji se sinem je co do metodiky výpočtu stejný)).

Hodně podrobný materiál i s příklady dával zde kolega, váš materiál z TUL jsem teď narychlo nenašla (máte?).

K samotnému integrálu (jelikož i pro sinovou bude stejná metoda). $1=u^{\prime}$ , pro nalezení $v$ musíš buď si představit čeho je tento výraz derivace: $\cos$\frac{xk\pi}{2}$=v^{\prime}$ nebo ho zintegrovat s použitím malé substituce $\frac{xk\pi}{2}=t$ (pouze x je proměnná, zbytek konstanty). Potom to poskládáš do per partes.

Ale pro sinový rozvoj změň prosím postup - potřebuješ ne $a_n$ , ale $b_n$ . Kolegovi děkuji za pozorné čtení.

panvicka · 05. 01. 2013 13:50

Takový hezký materiál nemáme, brali jsme to teď na konci roku a vlastně nedobrali, odpadli nám nějaké hodiny. No ale u zkoušky to bude že... Umím pouze je-li tam napsáno "fourierův rozvoj". Zkusím nastudovat materiály od kolegy z cvut.

jelena · 05. 01. 2013 19:13

↑ panvicka:

oni zas nemají Ještěd a baví se pozorováním sloupů u Technické knihovny. Ale u vás jsou také celkem přehledné materiály. Zkus ještě projít materiály také VUT nebo zde.

panvicka · 06. 01. 2013 19:37

tak po dlouhém počítání jsem se nedostala nikam, přikládám výsledky své snahy, ale asi to nečtěte, pošlu to svému cvičiteli, koneckonců od čeho ho mám že :) Děkuji za čas.

http://imageshack.us/photo/my-images/68 … 31403.jpg/

http://img38.imageshack.us/img38/3817/060120131402.jpg

Brano · 06. 01. 2013 23:06

Kedze si teraz na intervale $(-4,4)$ tak $L=8$ .

lukelee36 · 24. 01. 2017 11:59

↑ Brano:
Počítám právě totožný příklad.
Když je teda potřeba dodefinovat funkci na lichou (aby byl sinový rozvoj), tak intervaly budou :
$(-2,0>,x-1$
$<-4,-2) , x-3$
?
Nebo musí změnit znaménko ve funkční hodnotě na:
$1-x$
$x-3$

Pro výpočet $b_{k}$
$b_{k}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f_{(t)}*\sin \frac{k\pi }{T}dt =\frac{1}{2}\int_{-4}^{-2}()*\sin \frac{k\pi }{T}dt+\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}()*\sin \frac{k\pi }{T}dt$
Nejsem si jistý jaký funkční hodnoty tam dát, aby výsledná řada byla správně.

Děkuji