Matematické Fórum

Jeronym · 06. 01. 2013 01:56

Zdravím,
mám zas dotaz, úplně jednoduchý příklad, jen jsem to nikdy nepočítal a chtěl bych se zeptat, zda se mi to povedlo vypočítat...

Takže zadání:
Pro funkci $f(x)=\frac{-4}{7+x}$ určete Taylorův polynom druhého stupně v bod $x_{0}=5$

Moje řešení (nikdy jsem neřešil):
$f(5)=-\frac{4}{13}$
První derivace
$f '(x)=\frac{4}{(7+x)^{2}}$
$f '(5)=\frac{4}{(7+5)^{2}}=\frac{4}{169}$
Druhá derivace
$f ' '(x)=-\frac{8}{(7+x)^{3}}$
$f ' '(5)=-\frac{8}{(7+5)^{3}}=-\frac{8}{2197}$

Pak podle vzorce
$T_{n}(x_{0})=f(x_{0})+f '(x_{0})+\frac{f' '(x_{0})(x-x_{0})^{2}}{2!}+...+\frac{f^{n}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}$

$T_{2}(5)=-\frac{4}{13}+\frac{4(x-5)}{169}-\frac{8(x-5)^{2}}{2197}$

Uf, než to člověk napíše...
Je to tak? Je to správně, je to celý?

Děkuji za odpověď....

user · 06. 01. 2013 02:38 — Editoval user (06. 01. 2013 02:38)

V principu postupuješ správně, až na drobné numerické chybky.
Na kontrolu lze použít webové nástroje http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ta … %29+x%3D5.
V těchto příkladech lze postupovat i převedením na známý rozvoj (substituuji do okolí nuly):
$f(x)=\frac{-4}{7+x}=[x=y+5]=-4(12+y)^{-1}=\\ =-\frac13(1+\frac{y}{12})^{-1}=[z=\frac{y}{12}]=-\frac13(1+z)^{-1}=\\ =-\frac13(1-z+z^2-\cdots)$
To se upraví zpětnou substitucí zase až k polynomu v x.

Jeronym · 06. 01. 2013 13:44

↑ user:
Jsem nevěděl, že se tam dá dát i takhle "Taylor"... :)

No a když to řeším tímhle způsobem, tak kde jsem udělal chybu...?
Tenhle způsob se mi líbí víc, protože si pamatuju vzorec kvůli rovnici tečny (popř. normály)...

Jeronym · 06. 01. 2013 15:04

Vážně jsem spočítal, že $\frac{4}{5+7}=\frac{4}{13}$
To jsem teda dobrej... :D Ještě se na to podívám a pak kdyžtak uzavřu...

Jeronym · 06. 01. 2013 15:19

Mám to... asi si nejdřív zopakuju jabka a hrušky :D

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2013 01:56

Taylorův polynom druhého stupně v bodě / kontrola

#2 06. 01. 2013 02:38 — Editoval user (06. 01. 2013 02:38)

Re: Taylorův polynom druhého stupně v bodě / kontrola

#3 06. 01. 2013 13:44

Re: Taylorův polynom druhého stupně v bodě / kontrola

#4 06. 01. 2013 15:04

Re: Taylorův polynom druhého stupně v bodě / kontrola

#5 06. 01. 2013 15:19

Re: Taylorův polynom druhého stupně v bodě / kontrola

Zápatí