Matematické Fórum

polonium · 05. 01. 2013 15:44

Dobrý den,

řeším problém se zjišťováním oboru hodnot funkce. Hledal jsem po internetu i zde, ale nepodařilo se mi vytvořit nějaký ucelený přehled o tom jak H(f) vypočítat v různých případech. Jestli musím vždy hledat inverzní funkci, pokud ano, tak jak mám chápat ve výpočtu, že inverzní funkce je definována pouze v určitém intervalu a jak to ovlivní výpočet.

Je hledání inverzní funkce pouze o tom, že prohodím X s Y a vyjádřím z rovnice Y a určím interval v jakém inverzní funkce může existovat? A jak poznám, že funkce je prostá, nebo je prostá pouze v intervalu.

Mám zde několik příkladů, které se snažím vyřešit:
$f(x)=x+\frac{1}{x}$
$f(x)=ax+\frac{b}{x}; a,b>0$
$f(x)=x-\sqrt{x+1}$
$f(x)=x+1-\sqrt{x}$
$f(x)=1+2\cdot |\sin x|$

Děkuji všem za odpovědi nebo případné nasměrování na materiály, ze kterých to budu moct vyčíst.

BakyX · 05. 01. 2013 16:00

Ahoj. Vo všeobecnosti je princíp takýto.

Hľadáš všetky reálne čísla $y$ , pre ktoré existuje reálne číslo $x$ také, že $f(x)=y$ . V týchto prípadoch sa to dá popísať aj takto: Hľadáš všetky $y$ , pre ktoré má rovnica $f(x)=y$ s premennou $x$ a parametrom $y$ aspoň jedno riešenie.

Napríklad.

Hľadáme všetky $y$ , pre ktoré má rovnica $x+\frac{1}{x}=y$ riešenie. Za predpokladu $x \neq 0$ je táto rovnica ekvivalentná s $x^2-xy+1=0$ .

Táto rovnica má aspoň jeden koreň práve vtedy, keď $D=y^2-4 \ge 0$ . Ešte sa musíme presvedčiť, že pre všetky také $y$ bude tento koreň rôzne od nuly. To je ale jasné, pretože $0$ nie je koreň rovnice $x^2-xy+1=0$ (vidíme to dosadením $x=0$ ).

Obor hodnôt je teda tvorený hodnotami $y$ , pre ktoré $y^2-4 \ge 0$ , teda je to interval $(-\infty,-2 \rangle \cup \langle 2, \infty)$

zdenek1 · 05. 01. 2013 16:01

↑ polonium:
$y=x+\frac1x$ hledáš podmínky pro $y$ - v podstatě tě vůbec nezajímá, jestli existuje inverzní funkce, nebo vytvoříš "jenom" inverzní relaci.
$xy=x^2+1$
$x^2-xy+1=0$
$D=y^2-4\ge0$ a máš hledanou podmínku

druhá úplně stejně

3. $y=x-\sqrt{x+1}$
$x+1=x^2-2xy+y^2$
$x^2-(2y+1)x+y^2-1=0$
$D=(2y+1)^2-4(y^2-1)\ge0$ - a máš podmínku

4. stejný princip

5. tady se nic nepočítá, musíš trochu přemýšlet: $|\sin x|$ je od nuly do jedné
*2 -> od nuly do dvou
+1 -> od jedné do tří

polonium · 06. 01. 2013 13:38

A tedy inverzní relaci musím dělat v jakých případech?

Ještě bych se chtěl vrátit k 2. příkladu.
$f(x)=ax+\frac{b}{x}; a,b>0$
Když jsem ho počítal, vyšlo mi
$D=y^{2}-4ab\ge 0$
$y\ge \pm 2\sqrt{ab}$
$H(f)= (-\infty ,-2\sqrt{ab}\rangle \cup \langle 2\sqrt{ab},\infty )$
ale ve výsledcích je:
$H(f)= (-\infty ,-2ab\rangle \cup \langle 2ab,\infty )$

zdenek1 · 06. 01. 2013 16:37

↑ polonium:
Tvůj výsledk je správně.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2013 15:44

Výpočet oboru hodnot fce

#2 05. 01. 2013 16:00

Re: Výpočet oboru hodnot fce

#3 05. 01. 2013 16:01

Re: Výpočet oboru hodnot fce

#4 06. 01. 2013 13:38

Re: Výpočet oboru hodnot fce

#5 06. 01. 2013 16:37

Re: Výpočet oboru hodnot fce

Zápatí