Matematické Fórum

Josh · 07. 01. 2013 22:17

Nazdar, potreboval by som pomôcť s týmto príkladom:
$y_{1}' = 2y_{1}+y_{2}$
$y_{2}' = -y_{1}+4y_{2}$
Vyšilo mi dvojnásobné vlastné číslo $r_{1,2}=3$ , jeden vlastný vektor mi vyšiel $b^{1}=(^{1}_{1})$ , avšak neviem sa dopracovať k druhému vektoru, keďže mi vyšlo dvojnásobné vlastné číslo.
Vďaka

jardofpr · 07. 01. 2013 22:51

ahoj ↑ Josh:

môžeš napr. skúsiť nájsť nejaké riešenie rovnice $(A-rI)\bar{x}=b^1$

kde $r$ je tvoje vlastné číslo a $\bar{x}:=(x_1,x_2)^{T}$

ak také riešenie nájdeš, bude $b^2=\bar{x}$ ( tým nemyslím mocninu, ale druhý vlastný vektor)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 07. 01. 2013 22:54

Tam ten druhy vektor ani nie je, $(A-3I)v=0$ ( $A$ je matica tej rovnice) ma dimenziu rieseni iba jedna, cize mas pocitat zovseobecnene vlastne vektory, t.j. riesenia $(A-3I)^2v=0$ a to v retazci, cize najprv vyriesis $(A-3I)v=0$ a najdes vlastny vektor $v=(1,1)^T$ a potom hladas riesenie $(A-3I)w=v$ a riesenie je potom $(x,y)^T=pe^{3t}v+qte^{3t}w$ (vsimni si to $t$ pred exponencialou), ale takyto pripad by ste mali mat specialne rozobraty na prednaskach.

PS1: davno som sa tomuto nevenoval, tak si over spravnost vysledku.
PS2: ak to v prednaskan nevies najst tak taketo som nasiel na googli
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ … ectors.pdf

Brano · 07. 01. 2013 22:56

↑ jardofpr:
ninja'd ... nejak dlho som to daval dohromady :-)

jardofpr · 07. 01. 2013 23:09

↑ Brano:

úprimne by mi tvoj komentár pravdepodobne z pohľadu strateného študenta pomohol viac,
už len čo sa týka aspoň niekoľkých kľúčových slov, ale nechám ho už tam ;)

Josh · 07. 01. 2013 23:29

↑ Brano:
to je pravda, mám počítať $(A-3I)w=v$ .. lenže $(A-3I)$ mi znovu vynuluje jeden riadok (pretože vektory sú lineárne závislé) a teda nedostanem sa k žiadnemu výsledku. Alebo mi niečo uniká?

Brano · 08. 01. 2013 01:19

Mas rovnicu $(-1w_1+2w_2,-1w_1+2w_2)=(1,1)$ ta ma nekonecne vela rieseni (ako byva dobrym zvykom pri vlastnych vektoroch), ale staci ti jedno, ktore je linearne nezavisle od $(1,1)$ (toto je podstatna podmienka); napr. $(-1,0)$ .

Josh · 08. 01. 2013 12:56

↑ Brano:
aha, už rozumiem, vďaka

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2013 22:17

Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#2 07. 01. 2013 22:51

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#3 07. 01. 2013 22:54

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#4 07. 01. 2013 22:56

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#5 07. 01. 2013 23:09

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#6 07. 01. 2013 23:29

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#7 08. 01. 2013 01:19

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

#8 08. 01. 2013 12:56

Re: Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc

Zápatí