Matematické Fórum

Google · 08. 01. 2013 07:34

Ahoj, mám zde tuto větu a chci ji dokázat. Potřeboval bych poradit zdali je toto uplně všechno, nebo mi tam ještě něco chybí. Předem děkuju.
Věta: Sjednocení spočetné množiny a nejvýše spočetné množiny je množina spočetná

Důkaz:
1. $A=\{a_{1}, a_{2}, ...\}, B=\{b_{1}, b_{2},...\}$

2. Dokážeme, že sjednocení 2 spočetných disjunktních množin je spočetné:
$A, B$ - disjunktní , tj $A \cap B = \emptyset$ $\Rightarrow$ zobrazení $f(n)$ je bijekcí mezi $A\cup$ a $\mathbb{N}$ .
$f(n)=a_{n/2}$ pro n sude
$f(n)=a_{(n+1)/2}$ pro n liché
(Tu bijekci potom měl dokázat, ale nebudu to zde psat)

3. $A\cap B\neq\emptyset$ $\Rightarrow$ $A\cap B=A\cup (B-A)$
Rozdělíme do případů:
a) $B-A$ je nekonečná spočetná $\Rightarrow$ $(A\cap B=A\cup (B-A))$ je spočetná (podle bodu 2)
b) $B-A$ je konečná neprázdná (tzn. $B-A=\{c_{1},c_{2},...\}$ pro $k\in \mathbb{N}$ ) $\Rightarrow f(n)$ je bijekcí mezi $\mathbb{N}$ a $A\cup B$ .
$f(n)=c_{n}$ pro $n\le k$
$f(n)=c_{n-k}$ pro $n> k$
c) $B-A = \emptyset \Rightarrow A\cup B=B$ (což platí, že je spočetné)

Brano · 08. 01. 2013 15:08

Tu si asi chcel mat
$f(n)=b_{(n+1)/2}$
inak dobre, len cisto formalne bod 3 potrebujes aj pre pripad $A\cap B=\emptyset$ a to konkretne v pripade ak $B$ je konecna, lebo to tvoj pripad 2 nepokryva.

Napriek tomu, ze je to dobre tak sa mi zda, ze je to trochu zbytocne komplikovane. Mali ste vetu: $|A|=|B|\Leftrightarrow|A|\le |B|\&|A|\ge |B|$ ? T.j., ze staci dokazat existenciu injekcii z oboch stran.

Google · 08. 01. 2013 16:07

↑ Brano:OK, díky

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2013 07:34

Důkaz věty O sjednocení 2 spočetných množin

#2 08. 01. 2013 13:16 Příspěvek uživatele Google byl skryt uživatelem Google. Důvod: Tactical move

#3 08. 01. 2013 14:50 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

#4 08. 01. 2013 15:08

Re: Důkaz věty O sjednocení 2 spočetných množin

#5 08. 01. 2013 16:07

Re: Důkaz věty O sjednocení 2 spočetných množin

Zápatí