Matematické Fórum

Aquabellla · 08. 01. 2013 11:09

Pěkné ráno přeji.

Udejte příklad množiny $A \subset \mathbb{R}^2$ , pro níž $m_{*}(A) = 1$ , $m^{*}(A) = 3$ .
$m_{*}(A)$ je vnitřní Jordanova míra, $m^{*}(A)$ je vnější Jordanova míra

Znám pouze tento příklad, který jsme si uváděli na přednášce:
$B = [0,1]^2 \cap \mathbb{Q}^2$
$m_{*}(B) = 0$
$m^{*}(B) = 1$
ale nenapadá mě, jak ho modifikovat, abych dostala požadované míry.

Prosím, napadá někoho nějaká množina, který by zadání splňovala nebo jak modifikovat množinu B? Předem díky.

Stýv · 08. 01. 2013 12:23

jaké míry mají $[0,1]^2$ a $([0,1]\times[0,2])\cap \mathbb Q^2$ ?

Aquabellla · 08. 01. 2013 13:08

↑ Stýv:

Myslím, že mají tyto míry:
$m_{*}([0,1]^2) = 1$ a $m^{*}([0,1]^2) = 1$ - množina je Jordanovsky měřitelná

$m_{*}[([0,1] \times [0,2]) \cap \mathbb{Q}^2] = 0$ a $m^{*}[([0,1] \times [0,2]) \cap \mathbb{Q}^2] = 2$

Stýv · 08. 01. 2013 16:23

... takže?

Aquabellla · 08. 01. 2013 16:33

↑ Stýv:

Jde ty dvě množiny jednoduše sečíst?
$[0,1]^2 + [([0,1] \times [0,2]) \cap \mathbb{Q}^2]$
Sjednocením si totiž moc nepomůžu, protože aby platilo $m(A \cup B) = m(A) + m(B)$ , musely by být množiny A i B disjunktní a měřitelné, což nejsou.

Stýv · 08. 01. 2013 17:14

sečtení by asi nefungovalo (myslim, že by vyšlo $[0,1] \times [0,3]$ )

co se disjunktnosti týče - s tou by sis měla umět poradit. co se měřitelnosti týče, tobě přece nejde o míru $m$ , ale $m_*$ a $m^*$