Matematické Fórum

Google · 08. 01. 2013 07:03

aHOJ, rád bych si uměl ověřit, že $\mathbb{N}\sim \mathbb{Z}$ (N a Z jsou ekvivalentní množiny). Konkrétně bych měl ověřit, že následující zobrazení je bijekce mezi $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ :
$f(n)=n/2$ pro $n$ sudé
$f(n)=-(n-1)/2$ pro $n$ liché
Pokud se nemýlím, měl bych tedy dokázat u tohoto zobrazení, že je prosté a surjektivní.
Nevím jak to udělat.

Díky předem za pomoc

Google · 09. 01. 2013 02:43

↑ Google:-_- -_- -_-

Andrejka3

↑ Google:
Spočtěme obraz $f$ .
Obraz sudých čísel, tj. množiny $S=\{2n;\;n \in \mathbb{N}\}$ je $f_*(S)=\{n;\;n \in \mathbb{N}\}=\mathbb{N}$ (značím zde $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ ).
Obraz lichých čísel, tj. množiny $L=\{2k+1;\; k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$ je $f_*(L)=\{-\frac{2k+1-1}{2};\; k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}= -\mathbb{N} \cup \{0\}$ .
Odtud obraz $\mathbb{N}$ je $f_*(\mathbb{N})= \mathbb{Z}$ .
Takze je surjekce.

Injektivnost bych odbyla tím, že
je zřejmé z předchozího, že množina vzorů $\{k\}$ , kde k je kladne cislo musi byt casti mnoziny vsech prirozenych sudych cisel. Restrikce f na tento obor je rostouci.
je zřejmé z předchozího, že množina vzorů $\{n\}$ , kde n je nekladne cislo musi byt casti mnoziny vsech prirozenych lichych cisel. Restrikce f na tento obor je klesajici.
Odtud, vzor každé jednoprvkové množiny je (nejvýše) jednoprvková možina.