Matematické Fórum

jrn · 08. 01. 2013 17:28

Zdravím, řeším pomocí lagrangeových multiplikátorů otázku rovnovážných a stabilních poloh.
Nenapadá vás nějaká kuchařka nebo systém jak co nejrychleji vyřešit soustavu těchto pěti rovnic?

$(i) x^2+y^2-4=0$
$(ii) x^2 + (y-2)^2 +z^2 -4=0$
$(iii) 2x \lambda_1 + 2x\lambda_2 = 0$
$(iv) 2y\lambda_1 + 2(y-2)\lambda_2=0$
$(v) mg-2z\lambda_2 = 0, mg \neq 0$

díky za pomoc.

kompik · 09. 01. 2013 11:42

↑ jrn:
Z rovnice (iii) $2x(\lambda_1+\lambda_2)=0$ vidím, že buď $\lambda_1+\lambda_2=0$ alebo $x=0$ .

Najprv sa pozriem na prípad $\lambda_1+\lambda_2=0$ . Rovnicu (iv) môžem upraviť takto:
$2y(\lambda_1+\lambda_2)-4\lambda_2=0$
$-4\lambda_2=0$
Teda dostanem $\lambda_2=0$ , ale vtedy nemôže byť splnená rovnica (v).

Zostala mi možnosť $x=0$ . Vtedy sa rovnice (i), (ii) o dosť zjednodušia a viem z nich dorátať $y$ a $z$ . Ak sa nemýlim, tak ako jediné riešenie vyjde x=0, y=2, z=2. (Ale píšem len ako sa mi to zdá z hlavy, nerátal som poriadne - niečo treba nechať spraviť aj tebe.)

jrn · 09. 01. 2013 13:44

Já to samozřejmě rátám taky, když z toho musim udelat zkoušku :)) k tomu co píšeš sem se dostal taky, ale jsou to všechno čtverce takže když pak dosazuju ruzné kombiance tak $x=0$ $y=\pm 2$ tak potom vyjde i nějaka trojice, kde $z=0$ což by vycházet nemělo, proto hledám nějakou jinou cestu řešení, kde by se tomu dalo vyhnout. $mg$ představuje tíhovou sílu tak proto nemůže být nula.

kompik · 09. 01. 2013 13:50

jrn napsal(a):
vyjde i nějaka trojice, kde $z=0$ což by vycházet nemělo, proto hledám nějakou jinou cestu řešení, kde by se tomu dalo vyhnout. $mg$ představuje tíhovou sílu tak proto nemůže být nula.

Nie je mi jasné v čom je problém.
Proste z prvých štyroch rovníc ti vyšli nejaké riešenia. Ak pre niektoré je z=0, tak nevyhovuje piatej rovnici, takže to nie je riešenie sústavy.

jrn · 10. 01. 2013 00:18

Ano je to tak, máš pravdu, dělala mi problém hlavně fyzikální interpretace, až mě napadlo, že když to neřeší tu soustavu, tak tam nebude rovnovážná poloha :D geniální myšlenka no..
Díky za pomoc

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2013 17:28

soustava rovnic

#2 09. 01. 2013 11:42

Re: soustava rovnic

#3 09. 01. 2013 13:44

Re: soustava rovnic

#4 09. 01. 2013 13:50

Re: soustava rovnic

jrn napsal(a):

#5 10. 01. 2013 00:18

Re: soustava rovnic

Zápatí