Matematické Fórum

VendulaApp

Zdravím prosím o pomoc pri pochopeni dokonceni prikladu

mam najit lokalni extremy funkce $f(x,y) = 6xy - x^{3} -8y^{3}+ 125$

tak chapu ze si nejdrive najdu podle prvnich derivaci stacionarni body
$\frac{df}{dx}= 6y -3x^{2}$
$\frac{df}{dy}= 6x -24x^{2}$

dle soustavy rovnic
$6x -24x^{2} =0$
$6y -3x^{2} =0$

vyjdou mi koreny x1 = 0, x2 = 1
y1= 0, y2 = 1/2

udelam si druhou derivaci
$\frac{d^{2}f}{dx^{}}= -6x$
$\frac{d^{2}f}{dy^{2}}= -48y$

dale derivaci x podle y
$\frac{df}{dxdy} = 6$

a dale nevim jak se pokracuje urcuji nejake podminky ale nejak nedokazu vycist jak je urci velice dekuji za pomoc

VendulaApp

↑ VendulaApp:

Tak jsem uspesne úprisla na dalsi krok

udelam si matici

-6x 6
6 -48y

uz take chapu jak udelam pro a1=(0,0)
$\Delta 1 = 0$ , $\Delta 2 = -36 < 0$

pro a2=(1,1/2)

$\Delta 1 = -6 <0$ , $\Delta 2 = 108>0$

ale stale netusim ony minima maxima.....jak to z nich dostanu

Creatives

Nekontrloval jsem výsledek, ale řeknu ti postačující podmínku k existenci lokálních extrému.
Nechť $(x_{0},y_{0})$ je stacionárním bodem funkce f.
Označme:
$D_{1}=f''_{xx}(x_{0},y_{0})$

a

$D_{2}$
$f''_{xx}(x_{0},y_{0})$ $f''_{xy}(x_{0},y_{0})$
$f''_{yx}(x_{0},y_{0})$ $f''_{yy}(x_{0},y_{0})$

To je determinant, nevím jak udělat matici. . . hehe

Potom:
Jestliže D2>0 funkce f má v $(x_{0},y_{0})$ osrý lokální extrém přitom
- D1>0 pak jde o ostré lokální minimum
- D1<0 pak jde o ostré lokální maximum

Jestliže D2<0 funkce nemá v bode $(x_{0},y_{0})$ lokální extrém

Jestliže D2=0 nelze tímto způsobem rozhodnout

PS: Bod $(x_{0},y_{0})$ je stacionární jestliže pro parciální derivaci první řádu $f'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{y}(x_{0},y_{0})=0$