Matematické Fórum

Mautinek · 07. 12. 2008 23:58

Zdravím,
potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem. Děkuji.
Nechť X = {1,2,5,7,10,14,35,70}. Položme $x \oplus y = nsn(x,y)$ , $x \odot y = nsd(x,y)$ , $x\prime = 70/x$ pro všechna $x,y \in X$ . Dokažte, že $(X, \oplus, \odot, \prime, 1,70)$ je Booleova algebra. Nakreslete její Hasseův diagram.

Hasseův diagram by podle měl být následující:

Ale s tím důkazem si nevím rady, děkuji

Kondr · 08. 12. 2008 00:28

Hasseův diagram máš dobře.
Že je to boolova algebra ověříš tak, že za + dosadíš nsn a za * nsd v axiomech na stránce http://cs.wikipedia.org/wiki/Booleova_algebra

Něco z toho je dost triviální, třeba že nsd(a,b)=nsd(b,a). Upřesni, které axiomy ti nejsou jasné, nebo které důkazy chceš vidět a já se třeba pokusím ti pomoct. Nebo nějaký kolega, který mě předběhne :)

Mautinek · 08. 12. 2008 00:30

Díky moc, mrknu na to a dám vědět ;-)

Mautinek · 08. 12. 2008 13:38

Takže:
komutativita: nsn(x,y) = nsn(y,x), nsd(x,y) = nsd(y,x) - obě operace jsou komutativní
distributivita: $nsn(x,y) \oplus (nsn(y,x) \otimes (nsn(x,y))\prime ) = ( nsn(x,y) \oplus nsn(y,x) ) \otimes ((nsn(x,y))\prime \oplus nsn(x,y))$ - toto se mi ale nějak nezdá...
neutralita 0, 70: nsn(x,y) $\oplus$ 0 = nsn(x,y), nevím jak na druhý důkaz
komplementarita: x' $\otimes$ x = 70, x' $\oplus$ x - zde by se to mělo rovnat nule, ale nevychází mi to

Díky za rady

Kondr · 08. 12. 2008 16:54 — Editoval Kondr (08. 12. 2008 21:24)

↑ Mautinek:Chyba bude asi v tom, že minimální prvek je 1, ne 0.
Proto ta druhá neutralita je nsd(x,70/x)=1. To platí, protože kdyby nějaké prvočíslo p dělilo x i 70/x, muselo p^2 dělit 70.
Tu distributivitu bych si nejdčív kompletně přepsal:
nsn(a,nsd(b,c))=nsd(nsn(a,b),nsn(a,c))
Když v okruhu celých čísel ukazujeme rovnost čísel x a y, vyplatí se postupovat tak, že nejdřív x|y a pak y|x. Jejich rovnost z toho plyne.

EDIT: tak už jsem se k tomu dostal :) Musíme využít toho, že výraz nalevo i napravo je z naší množiny a tudíž je každým číslem dělitelný nejvýše v první mocnině. Stačí tedy ukázat, že
* když prvočíslo p dělí levou stranu, pak dělí pravou
* když prvočíslo p dělí pravou stranu, pak dělí levou
Tím se nám problém redukuje na práci s výroky (p|nsn(x,y) jde přepsat na p|x nebo p|y, p|nsd(x,y) na p|x a p|y).

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2008 23:58

NSN a NSD s booleovou algebrou

#2 08. 12. 2008 00:28

Re: NSN a NSD s booleovou algebrou

#3 08. 12. 2008 00:30

Re: NSN a NSD s booleovou algebrou

#4 08. 12. 2008 13:38

Re: NSN a NSD s booleovou algebrou

#5 08. 12. 2008 16:54 — Editoval Kondr (08. 12. 2008 21:24)

Re: NSN a NSD s booleovou algebrou

Zápatí