Matematické Fórum

Fobl · 07. 01. 2013 19:45

Dobrý den.
Chtěl bych vědět, jak se řeší tento příklad, kdybych nějaký podobný měl náhodou u zkoušky. Byl bych rád, kdyby tu byl tento příkad i vysvětlený, aby mně to pomohlo pomohlo k lepšímu pochopení.
Prostor V je generován prvky A1 = [■(-1&2@-1&3@ 0&0)], A2 = [■(2&-1@0& 1@2& 1)], A3 = [■(-1& 2@ 3&-1@ 1& 2)], A4 = [■(1&-3@1&-2@2& 1)].
Určete dimenzi a bázi prostoru V.
Ukažte, že prvek B = [■(-8& 15@ 10&-1@-2& 5)] ∈ V a určete B ̂ souřadnice prvku v bázi prostoru V.

kompik · 08. 01. 2013 11:37

↑ Fobl:
Vôbec mi nie je jasný zápis, ktorý si použil, možno sa oplatí skúsiť TeX.

Takisto mi nie je jasné, čo má spoločná otázka položená v príspevku (nájdite bázu a dimenziu) s názvom príspevku (ortogonální báze).

Fobl · 08. 01. 2013 20:21

Dobrý den.
Chtěl bych vědět, jak se řeší tento příklad, kdybych nějaký podobný měl náhodou u zkoušky. Byl bych rád, kdyby tu byl tento příkad i vysvětlený, aby mně to pomohlo pomohlo k lepšímu pochopení.
Ukažte, že množina
V = { [a - b, b + 4c, a + c, 2a - b, a + b + c]∧T ; a,b,c ∈ R} je podprostor prostoru R5. Určete dimenzi prostoru V a ortogonální bázi podprostoru V při skalárním násobení (u,v) = u∧T v.
Nevím, jak zapsat mocninu, tak ta stříška je mocnina, takže u∧T v, znamená u na T * v

kompik · 08. 01. 2013 20:55

Fobl napsal(a):
Dobrý den.
Chtěl bych vědět, jak se řeší tento příklad, kdybych nějaký podobný měl náhodou u zkoušky. Byl bych rád, kdyby tu byl tento příkad i vysvětlený, aby mně to pomohlo pomohlo k lepšímu pochopení.
Ukažte, že množina
V = { [a - b, b + 4c, a + c, 2a - b, a + b + c]∧T ; a,b,c ∈ R} je podprostor prostoru R5. Určete dimenzi prostoru V a ortogonální bázi podprostoru V při skalárním násobení (u,v) = u∧T v.
Nevím, jak zapsat mocninu, tak ta stříška je mocnina, takže u∧T v, znamená u na T * v

Mocniu v TeX-u zapíšeš ako u^T: $u^T$ .

Budem písať riadkové vektory - zjavne vy na prednáške používate stĺpcové, čiže na viacerých miestach by si mal dopísať ^T, aby to súhlasil s vašou konvenciou.

Pracuješ s množinou všetkých vektorov tvaru:
[a-b,b+4c,a+c,2a-b,a+b+c]=a[1,0,1,2,1]+b[-1,1,0,-1,1]+c[0,4,1,0,1]

Že to je podpriestor by si mohol overiť priamo z definície podpriestoru. Ale veľmi pravdepodobne ste mali vyslovenú vetu, že množina všetkých lineárnych kombinácií nejakých zadaných vektorov vytvorí podrpiestor. (Tento podpriestor potom voláme lineárny obal daných vektorov alebo podpriestor generovaný danými vektormi.)

Nájdenie bázy a dimenzie je štandadný príklad - úprava na redukovaný trojuholníkový tvar.
Ja som si namiesto toho zvolil podobný tvar, ale s pivotom v prvom, treťom a štvrtom stĺpci - lebo takto mi nevyšli zlomky.
$\begin{pmatrix} 1&0&1&2&1\\ -1&1&0&-1&1\\ 0&4&1&0&1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1&0&1&2&1\\ 0&1&1&1&2\\ 0&4&1&0&1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1&-1&0&1&-1\\ 0& 1&1&1& 2\\ 0& 4&1&0& 1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1&-1&0&1&-1\\ 0&-3&0&1& 1\\ 0& 4&1&0& 1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1& 2&0&0&-2\\ 0&-3&0&1& 1\\ 0& 4&1&0& 1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1& 2&0&0&-2\\ 0& 4&1&0& 1\\ 0&-3&0&1& 1 \end{pmatrix}$

Teda sme našli bázu zloženú z vektorov $[1,2,0,0,-2]$ , $[0, 4,1,0, 1]$ , $[0,-3,0,1, 1]$ , dimenzia je 3.

Teraz na tieto vektory použijeme Gram-Schmidtovu ortogonalizáciu. (Mohli by sme použiť pôvodné vektory, ale v upravenom tvare je viac núl - je väčšia šanca, že nám vyjdú krajšie čísla.) Tak dostaneme kolmé vektory, ktoré generujú ten istý podpriestor.

Fobl · 09. 01. 2013 17:56

Dobrý den.
To, jak jsme spočetli dimenzi chápu, ale nemůžu pořád pochopit, jak zjistím ortogonální bázi při skalárním násobení.

kompik · 09. 01. 2013 18:19 — Editoval kompik (09. 01. 2013 18:21)

↑ Fobl:
Myslím si, že takýchto príkladov sa tu na fóre nájde dosť (a myslí si to aj Google).

Takisto je veľa rôznych skrípt na webe, napríklad tu je príklad takého typu vyriešený vcelku podrobne.

Ale skúsme aj tak.
Máme dané vektory.
$\vec\alpha_1=[1,2,0,0,-2]$ , $\vec\alpha_2=[0, 4,1,0, 1]$ , $\vec\alpha_3=[0,-3,0,1, 1]$ ,
Položíme $\vec\gamma_1=\vec\alpha_1=[1,2,0,0,-2]$ .

Teraz chceme nájsť vektor $\vec\gamma_2=\vec\alpha_2+c\vec\gamma_1$ tak, aby bol kolmý na $\gamma_1$ , pričom $c$ je neznáma konštanta. (Geometrický intuícia - koncový bod vektora $\vec\alpha_2$ posunieme rovnobežne s vektorom $\vec\alpha_1$ , tak by sme sa dostali do situácie, keď už vzniknutý vektor bude kolmý.)

Chceme teda aby platilo
$\langle\vec\gamma_2,\vec\gamma_1\rangle=\langle\vec\alpha_2,\vec\gamma_1\rangle+c\langle\vec\gamma_1,\vec\gamma_1\rangle=0$ . Z toho vieme vyrátať
$c=-\frac{\langle\vec\alpha_2,\vec\gamma_1\rangle}{\langle\vec\gamma_1,\vec\gamma_1\rangle}$
Takže vyrátam hodnoty skalárnych súčinov $\langle\vec\alpha_2,\vec\gamma_1\rangle$ a $\langle\vec\gamma_1,\vec\gamma_1\rangle$ , dosadím, dostanem $c$ . Pomocou $c$ vyrátam $\vec\gamma_2$ .

Podobne vektor $\vec\gamma_3$ sa snažím nájsť v tvare $\vec\alpha_3+d\vec\gamma_1+e\vec\gamma_2$ , konštanty d,e treba vyrátať tak, by bol tento vektor kolmý na $\vec\gamma_1$ a $\vec\gamma_2$ .