Matematické Fórum

domorodec_lk · 09. 01. 2013 19:07

mám limitu: $\lim_{x\to0} xcotgx$ výsledek by měl být $[1]$

netuším jak počítat limity tohoto typu. existují nějaká pravidla? ale l´hopitalovo pravidlo nemám použít. mohl by mě někdo napomoci?

byk7 · 09. 01. 2013 19:35

↑ domorodec_lk:

$L:&=\lim_{x\to0} x\cot(x)=\lim_{x\to0}x\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to0}\cos(x)\cdot\frac{x}{\sin(x)}= \\ &=\lim_{x\to0}\cos(x)\cdot\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=\lim_{x\to0}\cos(x)\cdot\frac{1}{\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}}= \\ &=1\cdot\frac{1}{1}=1$

http://www.youtube.com/watch?feature=pl … OIs#t=122s

v tom videu mas odvozene i proc je
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$
hned na to je tam pak tvuj priklad ;)

domorodec_lk · 09. 01. 2013 19:49

↑ byk7: díky za odkaz, vypadá to jednoduše

takže $\lim_{x\to0}xcotgx$
jediné co mě napadlo je upravit to na: $\lim_{x\to0}x\frac{cosx}{sinx}$
ale popravdě netuším proč. podle toho videa je to správně. a na tom jsem skončil. stačilo přitom použít: $\frac{x}{sinx}=1$ ,a bylo by vše vyřešeno, protože ${cos 0}=1$ a protože $1\cdot 1=1$
jde tedy o to, dostat úpravama $\frac{x}{sinx}$ ? pochopil jsem to správně?

a platí tedy vzorec $\frac{sinx}{x}=1$ ? odkaz zde: http://maths.cz/clanky/limity-funkci.html

byk7 · 09. 01. 2013 19:58

↑ domorodec_lk:
v tomto případě ano,
vzorec $\frac{\sin(x)}{x}=1$ samozřejmě neplatí, ale platí
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

obecně řečeno, pokud jsou v limitách goniometrické funkce, často to vede na některou ze základních limit (jako už výše zmíněná lim sin(x)/x=1) a pomocí úprav (viz goniometrické vzorce) to pak zpočítat

domorodec_lk · 09. 01. 2013 20:04

↑ byk7:

jj, měl myslel jsem $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ , ale jak se přišlo na $\lim_{x\to0}\frac{x}{sin(x)}=1$ ? tady je čitatel se jmenovatelem prohozený. to je jedno jaký zápis je? ikdyž si to osobně nemyslím

byk7 · 09. 01. 2013 20:10

↑ domorodec_lk:

projdi si, co všechno můžeš s limitou dělat (myslím jak ji můžeš upravovat)

zkus si sám rozmyslet:
máš
$\lim_{x\to c}f(x)=k\wedge c,k\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$
čemu se pak rovná
$\lim_{x\to c}\frac{1}{f(x)}$ ?

domorodec_lk · 10. 01. 2013 09:05

↑ byk7:
$\lim_{x\to c}\frac{1}{f(x)}$ je podle mě převrácená funkce. měla by se tedy rovnat $k^{-1}$
při úpravách mohu tedy použít převrácenou hodnotu, abych se dobral k základnímu vzorci $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}$ který je roven 1?

byk7 · 10. 01. 2013 09:11

↑ domorodec_lk:

přesně tak

domorodec_lk · 10. 01. 2013 11:05

↑ byk7:

už je mi to tedy jasnější. mnohokrát díky

měl bych jeden doplňující dotaz. jako se považuje za základní vzorec $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ , je základním vzorcem i $\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}(x)}{x}=1$ ?

byk7 · 10. 01. 2013 11:08

↑ domorodec_lk:

tu druhou limitu lehce odvodíš z té první ;)
$\lim_{x\to0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(x)}=1\cdot\frac11=1$

domorodec_lk · 10. 01. 2013 12:03

↑ byk7:
pravda, taky mě to mohlo napadnout

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2013 19:07

limita s goniometrickou fukcí

#2 09. 01. 2013 19:27 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7.

#3 09. 01. 2013 19:35

Re: limita s goniometrickou fukcí

#4 09. 01. 2013 19:49

Re: limita s goniometrickou fukcí

#5 09. 01. 2013 19:58

Re: limita s goniometrickou fukcí

#6 09. 01. 2013 20:04

Re: limita s goniometrickou fukcí

#7 09. 01. 2013 20:10

Re: limita s goniometrickou fukcí

#8 10. 01. 2013 09:05

Re: limita s goniometrickou fukcí

#9 10. 01. 2013 09:11

Re: limita s goniometrickou fukcí

#10 10. 01. 2013 11:05

Re: limita s goniometrickou fukcí

#11 10. 01. 2013 11:08

Re: limita s goniometrickou fukcí

#12 10. 01. 2013 12:03

Re: limita s goniometrickou fukcí

Zápatí