Matematické Fórum

bejf · 10. 01. 2013 11:16

Ahoj, opět si nevím rady s příkladem.
$a^2(x+1)-2(ax+2)=0$ s neznámou $a$ a parametrem $x$
Nějak se mi nedaří dobrat se správného výsledku. Tentokrát ani nevím přesně, jak správně začít. Dle mého upravovat rovnici asi nemá význam.
Děkuji za jakoukoli radu.

byk7 · 10. 01. 2013 11:17

↑ bejf:

jseš si jistý, že to není naopak?

bejf · 10. 01. 2013 11:34

↑ byk7:
Skutečnost je taková, že zadání je původně neznámá $x$ a parametr $a$ , ale v dalším cvičení se má počítat se stejnými příklady, akorát $a$ má být neznámá a $x$ parametr.

byk7 · 10. 01. 2013 11:36

↑ bejf:

ok, jak si začal?

bejf · 10. 01. 2013 12:04 — Editoval bejf (10. 01. 2013 12:05)

↑ byk7:
Zkoušel jsem to upravit roznásobením obou závorek, to nikam moc nevedlo. Tu první závorku jsem nechal být neroznásobenou a roznásobil jsem pouze druhou a počítal jako kvadratickou rovnici.
$a^2(x+1)-2ax-4=0\nl D=4x^2-4(x+1).(-4)=4x^2+16x+16=4(x+2)^2$

byk7 · 10. 01. 2013 12:12

↑ bejf:

ano, jenom potom nezapomeň zvlášť rozebrat případ $x=-1$

ano (i podruhé), potom je $\sqrt D=\sqrt{4(x+2)^2}=2|x+2|$
potom je
$x_{1,2}=\frac{x\pm2|x+2|}{2(x+1)}$

teoreticky bys to tak už mohl i nechat (s tím, že bys zvlášť pořešil případ $x=-2$ )
anebo můžeš ještě prodiskutovat případy $x<-2$ a $x>-2$

bejf · 10. 01. 2013 12:19

↑ byk7:
Teď jsem chtěl napsat, že jsem na to přišel na ten výpočet, takže jsem to měl dobře, jen jsem si pak blbě dosazoval do vzorce pro výpočet kořenů.

A co se týče těch podmínek, ta pro x=-1 je jasná, ale pak je tam ax+2=0, pak tedy ax=-2, a ta neznámá na to nemá mít žádný vliv?

byk7 · 10. 01. 2013 12:57

↑ bejf:

jestliže rozebíráš nějakou konkretní hodnotu parametru, je dobré si za něj dosadit
$x=-1\Rightarrow a^2(-1+1)-2a(-1)-4=0\Leftrightarrow2a-4=0\Leftrightarrow a=2$

to znamená, že pro $x=-1$ má rovnice $a^2(x+1)-2(ax+2)=0$ právě jedno řešení a to $a=2$

bejf · 10. 01. 2013 13:19

↑ byk7:
Rozumím, ale hned z toho nevyčtu, pro které hodnoty parametru má rovnice stejné řešení. Ta první hodnota $x=-1$ je jasná z první závorky, tu pak dosadím. Druhá závorka pak je $(ax+2)$ , a u té bych si chtěl ujasnit jednu věc - protože si z toho nemůžu nic vytknout, tak to pak můžu položit celé rovno nule $ax+2=0$ , tedy pak $ax=-2$ . Teď ale abych měl vyjádřené $x$ , tak by to mělo být $x=-\frac{2}{a}$ a tam se počítá pouze pro $x=-2$ , tak z toho usuzuji, že ta neznámá $a$ ve druhé závorce nemá žádný vliv na tu podmínku, resp. tu konkrétní hodnotu parametru, kterou mám dosazovat do původní rovnice. Je tak?

byk7 · 10. 01. 2013 13:30

↑ bejf:

ale v tomto případě máš hodnotu x pevně danou (rozebíráš případ, kdy je x=-1), proto je hloupost s tím počítat jako s proměnou

bejf · 10. 01. 2013 13:38

No dobre, ale když dosadim $-2$ za $x$ , tak mi taky vyjde $a=2$ .

jelena · 10. 01. 2013 14:42

Zdravím v tématu. pro autora dotazu - zadání chybí co je třeba vyšetřovat. Standardní formulace takových úloh je:

Je dána kvadratická rovnice s neznámou $a$ a parametrem $x$ : $a^2(x+1)-2(ax+2)=0$

Urči, pro které hodnoty parametru $x$ :

a) rovnice má jen jeden kořen,
b) rovnice nemá žádný kořen,
c) rovnice má jeden dvojnásobný kořen,
d) rovnice má 2 různé kořeny,
e) rovnice má jeden nulový a jeden nenulový kořen atd.

Podaří se zorientovat? Začnete umístěním materiálu s teorii. Děkuji a zdar přeji.

bejf · 10. 01. 2013 14:49 — Editoval bejf (10. 01. 2013 14:50)

↑ jelena:
Také zdravím. V zadání stoji pouze "Řeště rovnice s parametrem $x$ a neznámou $a\in R$ .".

jelena · 10. 01. 2013 14:58

↑ bejf:

děkuji, to v úvodním příspěvku nemáš. Tedy máš sestavit tabulku, ve které bude odpověď na otázky a) až d) ↑ příspěvek 12: + zápis kořenu ve formě a=f(x).

bejf · 10. 01. 2013 21:46 — Editoval bejf (10. 01. 2013 22:18)

Neměl jsem na to moc času, ale přesto jsem o tom přemýšlel během dne. Vypadá to, že jsem na to přišel.

$a^2(x+1)-2ax-4=0\nl x=-1 \Rightarrow a^2(-1+1)+2a-4=0\nl 2a=4\nl a=2\nl\nl D=4x^2-4(x+1).(-4)=4x^2+16x+16=\sqrt{4(x+2)^2}\nl D=2|x+2|\nl\nl 2|x+2|=0\nl |x-(-2)|=0\nl x=-2\nl x=-2 \Rightarrow a=2\nl\nl 2|x+2|<0\nl x=\emptyset\nl\nl 2|x+2|>0\nl |x-(-2)|>0\nl x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\nl\nl x\in \{-1,-2\}\Rightarrow a=2\nl x\notin\{-1,-2\}\Rightarrow a_{1}=2,a_{2}=-\frac{2}{x+1}$

Teď už snad správně.

jelena · 10. 01. 2013 22:32

↑ bejf:

pořádně to snad zkontroluje kolega Ondra. Předpokládám, že komentář je soubor otázek a) až d).

Zatím jen výhrada k prvnímu řádku s D, úplně nakonec, kde se objevuje odmocnina, $D=4(x+2)^2$ odmocnina je až ve vzorci pro výpočet kořenů.
Tedy diskutujeme možné $D=4(x+2)^2$ (nulové, kladné, záporné) - na výsledek to vliv nemá, ale pro jiné D by to vliv mělo i na výsledek.
V ostatním jsem chybu nenašla.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2013 11:16

Kvadratická rovnice s parametrem

#2 10. 01. 2013 11:17

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#3 10. 01. 2013 11:34

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#4 10. 01. 2013 11:36

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#5 10. 01. 2013 12:04 — Editoval bejf (10. 01. 2013 12:05)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#6 10. 01. 2013 12:12

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#7 10. 01. 2013 12:19

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#8 10. 01. 2013 12:57

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#9 10. 01. 2013 13:19

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#10 10. 01. 2013 13:30

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#11 10. 01. 2013 13:38

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#12 10. 01. 2013 14:42

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#13 10. 01. 2013 14:49 — Editoval bejf (10. 01. 2013 14:50)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#14 10. 01. 2013 14:58

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#15 10. 01. 2013 21:46 — Editoval bejf (10. 01. 2013 22:18)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#16 10. 01. 2013 22:32

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

Zápatí