Matematické Fórum

Papajuli · 03. 12. 2007 17:43

Nejde mi rozlozit polynom:

x^4-3/2x^3-3/2x^2-3/2x+1/2.

Marian · 03. 12. 2007 19:56 — Editoval Marian (05. 12. 2007 12:47)

Toto je kvarticky polynom v promenne $x$ . Nepises ovsem, jaky rozklad potrebujes (nad R nebo C). V telese realnych cisel existuji jen dva koreny (to jsem si stacil overit numericky). Obecne rozlozeni bude pravdepodobne problem. Kdyby ta rovnice vypadala trochu jinak, treba u clene $x^4$ by byl koeficient 1/2, pak bychom mohli tu rovnici resit jako symetrickou kvartickou rovnici, coz by mohlo byt snazsi. Na Wikipedii nebo na Wolframu si muzes ale najit reseni takovychto rovnic. Takze pokud te nic nenapada, vrhni se na vzorce.

Pokud naleznu nejaky hezky material, dam sem odkaz.

[edit.] Nekdy se daji kvarticke rovnice resit alternativnimi metodami. Uvedu priklad jedne takove velice hezke kvarticke rovnice. Muzete si ji zkusit vyresit.

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-\frac{1}{4}=0$ .

Papajuli · 05. 12. 2007 12:21

Děkuji Mariamovi za odpověď, ale moc mi to nepomohlo. Předně v zadání jsem napsala úplně, tak jak mi ho dali vyučující. To jestli se to ma rozkládat v R nebo C nejak nikdo neřešil, takže předpokládám, že v R to stačí. Jinak příklad měl být konstruován na počítání hornerovým schématem a měly se uvést všechny jeho kořeny. Bohužel nejsem schopna k žádnému dojít. Nemohl by jsi mi poradit jakou numerickou metodou jsi dospěl tk těm dvěma reálným kořenům? Předem moc děkuji.

Marian · 05. 12. 2007 12:53

Rekl bych, ze Hornerovo schema se pouziva na urceni resp. overeni celociselnych korenu nejake polynomicke rovnice. Jak rikam, overil jsem si v Maple 9.5, ze takove koreny neexistuji. To by bylo dobre ukazat (zatim jsem nenasel cas ...). Existuji nejaka kriteria i pro hledani racionalnich korenu. Tady by se musela tva rovnice upravit na rovnici s celociselnymi koreny (na podstatu vysledku by to nemelo zadny vliv, krome "kosmetickeho"). Ten algoritmus neznam z halvy. Musel bych hledat (zatim neni cas ani na toto ...). Jako jistotu bych pouzil vypomenute obecne vzorce pro vypocet korenu obecne kvarticke rovnice. To muze byt ale nekdy casove narocne.

Papajuli · 05. 12. 2007 13:09

Diky, taky jsem se divila, ale s jistou modifikací používají na seminářích na VUT brno Hornerovo schéma i pro výpočet racionárlních kořenů, ale protože to mám jen zprostředkovaně tak nedokážu říct, jestli se tím snaží zjitit možnou existenci jen nějakých (těch "hezčích") kořenů, nebo jim tvrdí, že daným postupem lze najít všechny možné rac. kořeny nebo prokázat neexistenci žádného racionálního kořene.

Marian · 05. 12. 2007 13:21 — Editoval Marian (05. 12. 2007 13:22)

Myslim, ze se mi podarilo zrovna dokazat, ze racionalni koreny neexistuji. Ale je toho vice a zrovna musim nekam odejit a pak me zase vola pracovni povinnost. Mozna jeste dnes, ale nejspise zitra sem dam postup jak ukazat, ze racionalni koreny neexistuji (pokud nemam chybu v dukazu -- zatim jsem zadne slabe misto nenasel).

Jinak Hornerovo schema funguje samozrejme i pro racionalni body.

Papajuli · 05. 12. 2007 13:29

Diky moc, nespěchá to, takže si nedělej starosti s časem

Marian · 05. 12. 2007 17:49 — Editoval Marian (05. 12. 2007 17:59)

Budu sporem predpokladat, ze existuje racionalni koren tve rovnice, tj. rovnice

$x^4-3/2x^3-3/2x^2-3/2x+1/2=0.$

Ukazu (po vynasobeni tve rovnice cislem 2), ze rovnice

$2x^4-3x^3-3x^2-3x+1$ ..................... (1)

take nema racionalni reseni.

Necht tedy rovnice (1) ma racionalni reseni ve tvaru x=p/q, kde $(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ takova, ze jsou nesoudelna, tj. ze $(p,q)=1$ . Dosazenim mame, ze

$2\frac{p^4}{q^4}-3\frac{p^3}{q^3}-3\frac{p^2}{q^2}-3\frac{p}{q}+1=0\Leftrightarrow 2p^4-3p^3q-3p^2q^2-3pq^3=-q^4.$

Vydelim za predpokladu, ze p je ruzne od nuly (to mohu predpokladat, nebot pak x=p/q=0/q=0 neni dosazenim za x=0 koren puvodni rovnice), a dostavame

$2p^3-3p^2q-3pq^2-3q^3=-\frac{q^4}{p}.$ ................ (2)

Leva strana posledniho vztahu je cele cislo, tudiz prava musi byt take. To muze ale nastat pouze v pripade, ze $p|q^4\Leftrightarrow p|q$ . Protoze ale plati, ze cisla p a q jsou nesouelna, jedina varianta, ktera pripada v uvahu je pouze p=1 nebo p=-1. Provedu uvahu pouze pro p=1. Pro p=-1 analogicky.

Necht tedy nyni p=1. Pak dosazenim teto hodnoty do (2) mame

$2-3q-3q^2-3q^3=-q^4\Leftrightarrow 3q(1+q+q^2)=q^4+2$ .

Z toho plyne, ze $3q|(q^4+2)\Leftrightarrow\exist t\in\mathbb{Z}:\, q^4+2=3qt$ .

Odtud snadnou upravou je

$q\cdot (q^3-3t)=-2=-2\cdot 1$ .

Rozklad vpravo nam pak dava tyto moznosti:

(a) q=-2, q^3-3t=1,
(b) q=2, q^3-3t=-1,
(c) q=1, q^3-3t=-2,
(d) q=-1, q^3-3t=2.

Tz rovnosti na druhe pozoci nemaji dulezitost. Rozhodujici jsou ty varianty pro cislo q. Jak znamo, mame jiz p=1. Pro tuto cast existuji tedy ctyri potencialni kandidati na nulovy racionalni bod puvodni rovnice. Lehkym vypoctem, ze ani jedno z cisel x=p/q = 1/(-2), 1/2, 1/1, 1/(-1) nejsou nulove body tve rovnice.

Podobnou uvahu je zapotrebi provest i pro p=-1. Take zde dostaneme potencialni kandidaty, ktere nebudou vyhovovat puvodni rovnici.

Kondr · 05. 12. 2007 18:38

Myslím, že lze bez důkazu použít tvrzení, že když p/q je kořen polynomu s celočíselnými koeficienty, pak p dělí poslední a q první koeficient.

Nicméně Marianův důkaz je pěkný :)

Marian · 05. 12. 2007 20:53 — Editoval Marian (05. 12. 2007 20:54)

Pravdepodobne se to dokazat i jednoduseji, ale mel jsem volnou chvilku, tak me napadlo toto. Myslim, ze nekdy jsem dokazaoval podobnou metodou tvrzeni, ze vyraz n^2+n+1 (nebo takovy nejaky podobny -- nepamatuju si to presne) nemuze byt druhou mocninou prirozeneho cisla, kde cislo n je take prirozene. Ale i v tomto pripade bude potencialnich metod reseni vice.

Kondrova poznamka je spravna a efektivni. Dukaz teto poznamky je snadny.

Az budu mit cas, vyresim i rovnici, kterou jsem zadal vyse. Mozna ji ale zatim vyresi nekdo jiny.

Papajuli · 06. 12. 2007 11:51

Kondr napsal(a):
Myslím, že lze bez důkazu použít tvrzení, že když p/q je kořen polynomu s celočíselnými koeficienty, pak p dělí poslední a q první koeficient.

Nicméně Marianův důkaz je pěkný :)

Děkuji Marianovi za důkaz, mě se taky moc líbil. Ještě k tomu, co psal Kondor, v tom případě stačí najít kandidáty na racionální kořeny jako podíly všech kombinací čísel, která dělí první a paslední koeficient mnohočlenu a pak se dosazením přesvědčit, že kořeny nejsou. Dá se potom obecně tvrdit, že taková rovnice nemá žádné racionální kořeny?

Marian · 06. 12. 2007 13:33 — Editoval Marian (06. 12. 2007 13:33)

Plati nasledujici vety, ktere lze s uspechem pouzit na nektere problemy o existenci racionalnosti korenu polynomickych rovnic s celociselnym koeficienty, popr. k nalezeni nekterych kandidatu na racionalni koreny. Uvedu dve tvrzeni.

Veta 1.
Necht polynom

$c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_0$

s celociselnymi koeficienty ma racionalni koren $\textstyle{\frac{a}{b}}$ , $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ , $\textstyle{(a,b)=1}$ . Pak

$a|c_0$ a $b|c_n$ .

Dukaz je v nekterych krocich shodny s tim, co jsem provadel ja. Jednoduchym dusledkem Vety 1 je pak nasledujici

Veta 2.
Jestlize racionalni cislo r je resenim rovnice

$x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_0=0$

s celociselnym koeficienty, pak $r\in\mathbb{Z}$ a $r|c_0$ .

Dukaz je snadny.

Kondr · 07. 12. 2007 01:21

@Marian: možná začnu být trochu OT, ale n^2+n+1 není druhou mocninou už proto, že je (pro n>0) mezi n^2 a (n+1)^2 a mezi dvěma po sobě jdoucími čtverci žádný další není.

@Papajuli: tvůj výklad mého příspěvku je přesný - lze vytvořit takovou množinu a ověřit např. Hornerovým schematem, že žádný racionální kořen nevyhoví. Urychlit to jde ještě tvrzením, že když je a/b kořen polynomu P, pak pro všechna celá čísla m
a-mb|P(m), zejména tedy a-b|P(1) a a+b|P(-1).

Marian · 07. 12. 2007 13:55

Jak jsem psal, nevzpominam si. Jen jsem tak neco vypalil, ze nejak podobne to mohlo vypadat. Nebo spis se melo dokazovat, ze to nemuze byt prvocislo pro n vetsi nez cosi. Jo, to je asi ono. Jen jsem si vzpomenul na to, ze nejak podobne jsem postupoval.

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2007 17:43

Koreny polynomu

#2 03. 12. 2007 19:56 — Editoval Marian (05. 12. 2007 12:47)

Re: Koreny polynomu

#3 05. 12. 2007 12:21

Re: Koreny polynomu

#4 05. 12. 2007 12:53

Re: Koreny polynomu

#5 05. 12. 2007 13:09

Re: Koreny polynomu

#6 05. 12. 2007 13:21 — Editoval Marian (05. 12. 2007 13:22)

Re: Koreny polynomu

#7 05. 12. 2007 13:29

Re: Koreny polynomu

#8 05. 12. 2007 17:49 — Editoval Marian (05. 12. 2007 17:59)

Re: Koreny polynomu

#9 05. 12. 2007 18:38

Re: Koreny polynomu

#10 05. 12. 2007 20:53 — Editoval Marian (05. 12. 2007 20:54)

Re: Koreny polynomu

#11 06. 12. 2007 11:51

Re: Koreny polynomu

Kondr napsal(a):

#12 06. 12. 2007 13:33 — Editoval Marian (06. 12. 2007 13:33)

Re: Koreny polynomu

#13 07. 12. 2007 01:21

Re: Koreny polynomu

#14 07. 12. 2007 13:55

Re: Koreny polynomu

Zápatí