Matematické Fórum

user · 10. 01. 2013 17:22 — Editoval user (10. 01. 2013 18:09)

Ahoj,
mám problém s hledáním extrému funkce více proměnných. Zadání je
$f(x,y)=x^2y^2(1-x-y)$
Udělal jsem si parciální derivace

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a našel podezřelý bod $x=y=\frac25$ , s tímto bodem nemám problém.

Problém mi činí vyšetřit extrémy na přímkách $y=0$ a $x=0$ nebo-li v podezřelých bodech $(x,0)$ a $(0,y)$ . Ze zadání je zřejmé, že je na těchto přímkách funkce konstantní, takže nemá smysl dělat řezy v těchto přímkách.

Musím ale zjistit jak se funkce chová v okolí těchto přímek. Dál budu pokračovat třeba pro přímku $x=0$ .
Napadlo mě vyšetřovat řezy v bodech $y=\text{konst.}$ ve směru x a vyšetřit funkci
$g(x):=f(x,y)$
v závislosti na parametru y. Tady mě vyšly derivace:
$g'(x)=xy^2(2-3x-2y)$
$g''(x)=-6xy^2+2y^2-2y^3$
Zajímá mne znaménko g''(0). Vyšlo kladné pro y<1 takže by funkce v tomto případě měla neostré minimum a pro y>1 neostré maximum. (s vyloučením y=0). Podle grafu by to mohla být pravda http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … 81-x-y%29+ ale postupem si moc jistý nejsem. Hlavně tím jestli stačí vyšetřit v těch směrech, jak jsem určil já, nebo je potřeba to ukázat ve všech, což mě nenapadá jak udělat.

Ještě se chci zeptat jak správně vyšetřit bod (0,0)? Musím tam taky ukázat extrém, pro všechny řezy? Ze zadání je víceméně zřejmé, že v okolí (0,0) bude $1-x-y>0$ a členy s mocninou budou růst. Takže tam bude lokální neostré minimum.

Děkuji za odpovědi.

Brano · 10. 01. 2013 18:34

Vysetrovat to len v nejakych rezoch sa mi nezda dostatocne. Ja by som na to isiel ako sa hovori od podlahy. Zacnem trochu obsirnejsie.

Ako vlastne zistis, ze $(x-1)^2+(y-1)^2$ ma minimum v bode $(1,1)$ ? Dosadis $x=1+dx$ a $y=1+dy$ , $dx,dy$ su male vychylky a dostanes $dx^2+dy^2$ a uz si lahko uvedomis, ze nech su $dx,dy$ lubovolne, tak sa ten vyraz moze iba zvacsit. Takejto kvadratickej forme zodpoveda matica $\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$ , co je presne matica druhych derivacii $f$ v bode $(1,1)$ . To aby si videl suvislost so standardnym postupom, avsak tento postup cez vychylky sa da pouzit aj na pripady ked su druhe derivacie nulove.

Teraz k tvojmu prikladu. Ako vysetrit $(0,y_0)$ ? Dosadis $x=dx$ a $y=y_0+dy$ a dostanes $dx^2(y_0+dy)^2(1-y_0-dx-dy)$ . Hned si mozes vsimnut, ze $dx^2(y_0+dy)^2$ je stale nezaporne, takze sa staci pozerat na clen $1-y_0-dx-dy$ . Ak je $y_0<1$ tak mozes brat $dx,dy$ dostatocne male aby ti nezmenili znamienko a vidis, ze sa jedna o lokalne minimum, lebo ten vyraz je nezaporny a je neostre - lebo ak $dx=0$ (a $dy\not=0$ ) tak je celkovy vyraz nulovy. Vsimni si, ze to zahrna aj pripad $y_0=0$ , cize mas vyrieseny aj bod $(0,0)$ ten nie je nijak vynimocny. Podobne v pripade $y_0>1$ sa jedna o lokalne maximum. Vynimocny je pripad $y_0=1$ kde sa nas vyraz redukuje na $-dx-dy$ a ten moze byt pri vhodnej volbe $dx,dy$ aj kladny aj zaporny, takze sa jedna o sedlovy bod.

user · 11. 01. 2013 00:56

Děkuji za odpověď,
právě ta matice kvadratické formy druhé derivace nešla. No jednoduchý standardní postup také nepůjde, tak to snad bude takhle správně.

Ještě nad tím budu přemýšlet a pokud mne nic zajímavého nenapadne anebo nebude mít ještě někdo touhu přispět, tak to označím za vyřešené.

Brano · 11. 01. 2013 15:53

Ved prave o to ide, ze druhe dervacie v tomto pripade nestacia. To je ako ked v jednorozmernom pripade nastane, ze druha derivacia je nula, tak to moze byt aj maximum aj minimum alebo ani jedno z toho. Treba sa pozriet na vyssie deriavacie a ten postup, ktory som ti napisal to v podstate robi.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2013 17:22 — Editoval user (10. 01. 2013 18:09)

Extrém funkce více proměnných

#2 10. 01. 2013 18:34

Re: Extrém funkce více proměnných

#3 11. 01. 2013 00:56

Re: Extrém funkce více proměnných

#4 11. 01. 2013 15:53

Re: Extrém funkce více proměnných

Zápatí