Matematické Fórum

Bananik · 10. 01. 2013 12:41

Zdravím potrebujem pomôcť vyšetriť konvergenciu poprípade osciláciu alebo divergenciu radu. Snažil som sa to riešiť cez ohraničenie výrazom ale nepodarilo sa mi to asi som to robil zle... Príklad vyzerá takto

kompik · 11. 01. 2013 09:39

Bananik napsal(a):
Príklad vyzerá takto
http://forum.matweb.cz/upload3/img/2013 … ADklad.png

Stačí si všímnúť, že
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\operatorname{arctg}\frac1{\sqrt n}}{\frac1{\sqrt n}}=1$
a rad $\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$ diverguje.

Bananik

Aha teda keď tento rad diverguje potom diverguje aj moje zadanie? A nie je mi celkom jasná ta limita neviem čo sme tým dosiahli k čomu prosím diverguje môj zadaný rad? Poprosím trošku vysvetlenie ak to nebude obťažovať :)

kompik · 14. 01. 2013 08:38 — Editoval kompik (14. 01. 2013 08:40)

↑ Bananik:
Ak existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=L$ , znamená to, že
$b_n(1-\varepsilon)<a_n<b_n(1+\varepsilon)$
pre nejaké zvolené $\varepsilon>0$ a pre $n\ge n_0$ .

Pri vyšetrovaní konvergencie/divergencie radu nezáleží na konečnom počte členov, čiže stačí si všímať členy radu počnúc od $n_0$ a pre ne použiť porovnávacie kritérium.

S celou touto vecou sa možno stretnúť pod názvom limitné porovnávacie kritérium.

Google: limitne porovnavacie kriterium
limitni srovnavaci kriterium
limit comparison test

**************

Existuje aj Stolzova-Cesarova veta, ktorá je podobná na to, o čom sme hovorili tu. Síce na tento príklad nie je potrebná, ale je zaujímavá a trochu súvisí, tak ju spomeniem.

Táto veta hovorí, že za nejakých podmienok na postupnosť $b_n$ z rovnosti $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=L$ vyplýva rovnosť $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^na_k}{\sum_{k=1}^n b_k}=L$ . (Konkrétne ak $b_n$ má kladné členy a diverguje.)

* Wikipedia
* MSE
* The Stolz-Cesar Theorem
* Stolzova veta
* Veta 5.3.4 a Dosl. 5.3.5 tu
* Google: stolcova veta
* Google: stolz theorm