Matematické Fórum

onlycheck · 09. 01. 2013 12:53

Ahoj,
když se po mne chce, abych uvedl interval existence u integrálu, co přesně po mne chtějí ? Dám příklad (prosím o postup a jeho případné vysvětlení)
$\int_{}^{}\sin ^{2}x \cos x dx$
$\int_{}^{}\sin (2-3x) dx$

Rumburak

Ahoj.
Interval existence neurčitého integrálu patrně bude maximální interval, na němž (hledaná) primitivní funkce existuje.
Například $1/x$ má takové intervaly dva, a sice

$(-\infty, 0)$ s p.f. $\ln (-x) + C$ ,

$(0, +\infty)$ s p.f. $\ln x + D$ .

Platí věta, že funkce spojitá na otevřeném intervalu má na něm p.f.

onlycheck · 10. 01. 2013 15:55

nerozumím, můžeš ukazat na jednom z příkladu, děkuji ↑ Rumburak:

Rumburak · 10. 01. 2013 17:21

↑ onlycheck:

Tak třeba první z integrálů spočteme substitucí $t = \sin x, \mathrm{d}t = \cos x \, \mathrm{d}x$ :

$\int\sin ^{2}x \cos x \mathrm{d}x = \int t^{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{3} t^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$ ,

integrace je platná v celém $(-\infty, +\infty)$ (interval, jímž "probíhá" $x$ ) .

onlycheck · 10. 01. 2013 21:42

jestli chápu, je to něco jak definiční obor ?↑ Rumburak:

Rumburak · 11. 01. 2013 10:23

↑ onlycheck:

Dalo by se to chápat tak trochu v tomto smyslu. Jde o to, že o primitivní funkci F k nějaké dané funkci f hovoříme
(z definice p.f.) pouze v souvislosti s INTERVALEM (zpravidla otevřeným), na němž je splněněna identita F' = f .

Jak již jsem naznačil v ↑ Rumburak: , funkce ln |x| NENÍ p. f. k 1/x v celém R (kazí to bod 0), ale pouze na
libovolném ot. intervalu neobsahujícím nulu. Takových otevřených intervalů je nekonečně mnoho, ale pouze dva
z nich jsou maximální, a sice (-oo, 0) a (0, +oo), a ty nás zajímají jako intervaly existence p.f. (čili neurčitého integrálu)
přednostně.

U toho integrálu, který jsem vzorově vyřešil, žádný problém s nějakým bodem, který by to kazil, není, proto hledaným
maximálním intervalem je (-oo, +oo) . Obdobná situace bude i u druhého integrálu.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2013 12:53

Interval existence u INTEGRALU

#2 09. 01. 2013 16:17 — Editoval Rumburak (09. 01. 2013 16:18)

Re: Interval existence u INTEGRALU

#3 10. 01. 2013 15:55

Re: Interval existence u INTEGRALU

#4 10. 01. 2013 17:21

Re: Interval existence u INTEGRALU

#5 10. 01. 2013 21:42

Re: Interval existence u INTEGRALU

#6 11. 01. 2013 10:23

Re: Interval existence u INTEGRALU

Zápatí