Matematické Fórum

Creatives

Ahoj,
potřeboval bych poradit s výpočtem normální rovnice (odhad parametru $a_{1}$ )

Z Lineárního trendu $T(t) = a_{0} + a_{1}t$ kde $t\in \mathbb{R}$ pomocí MNČ $min_{a0,a1} \Sigma _{t=1}^{n}(y_{t}-a_{0}-a_{1}t)^2$ zderivováním získám normální rovnici $-2\Sigma _{t=1}^{n}(y_{t}-a_{0}-a_{1}t)=0$ a vyřeším odhad parametru $a_{0}$ tak $\Sigma y_{t}=na_{0}+a_{1}tn$ a tedy pro odhad $\bar{a}_{0}=\bar{y}-\bar{a}_{1}\bar{t}$

No a problém nastává při určení $\bar{a}_{1}$ ?? Má vyjít $\bar{a}_{1}=\frac{\Sigma ty_{t}-n\bar{t}\bar{y}}{\Sigma t^2-n\bar{t^2}}$

Můj dotaz zní: Jak vypočíst již zmiňované $\bar{a}_{1}$ Děkuji moc!

Geronimo · 11. 01. 2013 15:17

Muzu se zeptat, jak jsi dosel k $\sum_{t=1}^n a_1 t= a_1 t n$ ?

Creatives

↑ Geronimo:
to $t$ jsem si nevšiml :( takže upravuju dotaz: jak vypočtu $a_{0},a_{1}$ :P

Platí: $\frac{\sum_{}^{}y_{t}-\sum_{}^{}a_{1}t}{n}=\bar{y}-a_{1}\bar{t}$ ?? To druhé $a_{_{1}}$ má být se stříškou. Jako odhad

Geronimo · 11. 01. 2013 16:27

Me se to tvoje znaceni nelibi (hlavne to indexovani) , tak ja si zavedu vlastni znaceni:

$(a,b) = \arg \min_{(a,b)} \sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i)^2$

Nejprveme zderivujeme rovnici $f= \sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i)^2$ parcialne podle $a$ a $b$ :

$\frac{\delta f}{\delta a} = -2 \sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i)$
$\frac{\delta f}{\delta b} = -2 \sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i)X_i$

Polozime obe rovnice rovny nule a z prvni vyjadrim $a$ :

$\sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i) = 0 \Rightarrow \hat{a}= \frac{\sum Y_i - b \sum X_i}{n}= \overline{Y}-b \overline{X}$

$\overline{X}$ znaci prumer $X$

Ted z druhe rovnice vyjadrim $b$ :

$\sum_{i=1}^{n}(Y_i-a-b X_i)X_i=0$
$\sum X_i Y_i - a\sum X_i - b\sum X_i^2=0$

dosadime za $\hat{a}$ za $a$ :
$\sum X_i Y_i - \frac{\sum Y_i - b \sum X_i}{n}\sum X_i - b\sum X_i^2=0$

z toho by doufam melo vylezt takove vyjadreni pro $b$ :
$\hat{b}=\frac{\sum Y_i X_i - \frac{1}{n} \sum X_i \sum Y_i}{\frac{1}{n} \sum X_i \sum X_i + \sum X_i^2}$

Asi by to slo jeste nejak zaonacit, aby to vypadalo pekne.