Matematické Fórum

Google · 11. 01. 2013 17:01

Ahoj,
mám tyto vektory:
$(x_{1}) = \left( \begin{array}{ccc}1 \\0 \\0 \\-1 \end{array} \right)$ , $(x_{2}) = \left( \begin{array}{ccc}2 \\1 \\1 \\0 \end{array} \right)$ , $(x_{3}) = \left( \begin{array}{ccc}1 \\1 \\1 \\1 \end{array} \right)$ , $(x_{4}) = \left( \begin{array}{ccc}1 \\2 \\3 \\4 \end{array} \right),(x_{5}) = \left( \begin{array}{ccc}0 \\1 \\2 \\3 \end{array} \right)$

a) Najděte bázi $[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}]_{\lambda }$
b) Vyjádřete $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ jako LK nalezené baze

a) Nalezl jsem bázi = $(x_{1}, x_{2}, x_{4})$ = $(\left( \begin{array}{ccc}1 \\0 \\0 \\-1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc}2 \\1 \\1 \\0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc}1 \\2 \\3 \\4 \end{array} \right))$
b) TOHLE NEVÍM JAK SE DĚLÁ

Diky za pomoc

Geronimo · 11. 01. 2013 17:08

Baze 4-rozmerneho prostoru by mela obsahovat 4 vektory.

Google · 11. 01. 2013 17:45

↑ Geronimo:Asi to měla být rada, ale nechápu to.

Znamená to, že bych měl do vzorce pro LK: $x=\alpha _{i}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}$ za vektor $x$ dosadit STANDARTNI MATICI pro C4: $\left( \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{array} \right)$ ?

Takže budu řešit toto??:
$\left( \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\end{array} \right| \left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 \\-1 & 0 & 4\\\end{array} \right)$ ?

Google · 11. 01. 2013 17:55

↑ Geronimo:Jinak to A) mám určitě správně (zkontrolováno)

Geronimo · 11. 01. 2013 18:03

Tvoje vektory maji 4 slozky -> jedna se o 4-dimenzionalni vektor.
Dale v konecne dimenzionalnam prostoru dimenze n je bazi kazda mnozina obsahujici n linearne nezavislych vektoru.
Proto by tvoje baze mela obsahovat prave 4 vektory, ja vidim tri.
Tak mi ted rekni, kdo ti to kontroloval?

Google · 11. 01. 2013 18:10

Máme to ve skriptech s řešením na konci (Jedna se o příklad číslo 1: http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~balkolub/V … iceni5.pdf

Google · 11. 01. 2013 18:29

Už jsem to B) vyřešil, stačilo do vzorce pro LK $x=\alpha _{i}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}$ za $x$ dosadit $x_{1}/ x_{2}/ x_{3}/ x_{4}/ x_{5}$ a za $x_{i}$ dosadit $(\left( \begin{array}{ccc}1 \\0 \\0 \\-1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc}2 \\1 \\1 \\0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc}1 \\2 \\3 \\4 \end{array} \right))$ .

Takže pro $x_{1}$ řeším toto:
$x_{1}=\alpha _{1}\cdot x_{1}+\alpha _{2}\cdot x_{2}+\alpha _{3}\cdot x_{4}$
Dostanu: $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=(1,0,0)$

Výsledek pro $x_{1}$ je:
$x_{1}=1\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{4}$ .

Podobně postupuju pro $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$

Díky za pomoc

Geronimo · 11. 01. 2013 18:29

Asi uz to chapu, ta baze ma byt bazi podprostoru generovaneho temi vektory.

Potom je ten vysledek dobre.

Pak resis rovnice $(x_1 x_2 x_4 \vert x_3)$ a $(x_1 x_2 x_4 \vert x_5)$ . Neboli hledas souradnice techto vektoru v bazi $[x_1, x_2, x_4]$ .

Je zrejme, ze $x_1$ bude mit souradnice (1,0,0), $x_2$ bude mit souradnice (0,1,0) a $x_3$ bude mit souradnice (0,0,1).

user · 11. 01. 2013 18:29 — Editoval user (11. 01. 2013 18:43)

Musím trošku poupravit ↑ Geronimo:. Báze 4-rozměrného prostoru obsahuje opravdu 4 vektory. Ale neplatí, že lineární obal z více než 4 vektorů je vždy celý prostor! Může se klidně jednat o podprostor, což nastalo v tomto případě ( $\left[x_1,\dots,x_5\right]_\lambda\subset \subset \mathbb{C}^4$ ). Takže výsledek je správně.

K zadání b) nehledáš jejich souřadnice v standardní bázi, ale v té tvojí. Hledáš (jak jsi správně napsal) koeficienty $\alpha$ ve vzorci $x=\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}$ . Víš co tento vzorec znamená? Je to stejná úloha jako "Nalezněte souřadnice vektoru $x$ v bázi $\mathcal{X}$ ".