Matematické Fórum

Skrytý text:

Dá sa to riešiť sústavou rovníc kde si označíme a,b,c,d,e,f ako obsahy nádob jednotlivých trpaslíkov. Posledný trpaslík má prázdnu nádobu (pretože keďže bude posledný rozlievať obsah svojej nádoby, tak ju bude mať na konci prázdnu a teda ju musel mať aj na začiatku prázdnu). Po vyriešení sústavy vyjde, že ak obsah nádoby prvého trpaslíka je tak potom obsahy jednotlivých trpaslíkov môžeme zapísať takto:

Skrytý text:

Vyjdu z pozorování, která dokážeme indukcí: Označím-li x množství jednotek vody (vodu volím jako abstrakci mléka :-) prvního trpaslíka, pak množství vody i-tého trpaslíka je nutně x.(7-i)/6. Další klíčové pozorování je, že při rozdělování vody libovolného i-tého trpaslíka má tento trpaslík ve své misce přesně x jednotek vody.

Důkaz: pro i=1 je to zřejmé. Pro i+1: Označím-li množstvé vody trpaslíka i+1 na počátku jako w, pak tedy dle indukčního předpokladu bude před rozdělením jeho vody v jeho misce (*) w+i.x/6 jednotek vody. Trpaslík i má v tu dobu v misce 0 jednotek, tedy po rozdělení vody i+1-ním trpaslíkem bude mít i-tý trpaslík v misce w/6+i.x/36 jednotek vody a po tomto rozdělení bude mít i+1-ní trpaslík ve své misce 0 jednotek vody. Při dalších rozdělováních vody obdrží tyto dva trpaslíci již obastejné množství vody - řekněme z - a tedy nakonec bude mít i-tý trpaslík w/6 + i.x/36 + z vody a i+1-ní z vody. Díky tomu, že koncový stav se musí shodovat s počátečním a díky indukčnímu předpokladu pro stav vody i-tého trpaslíka na počátku, musí tedy platit: w/6 + i.x/36 + z = x.(7-i)/6 a z=w. Tedy po eliminaci z a vyjádření w máme w=x.(7-(i+1))/6 a to po dosazení do (*) dává w+i.x/6=x, tj. i+1-ní trpaslík měl před svým rozdělením v misce x jednotek vody.
Tím je důkaz ukončen.