Matematické Fórum

PanTau · 12. 01. 2013 10:34

Ahoj, prosím o radu s následujícím příkladem..

Najděte body nespojitosti:
$\frac{(x+2)-|x+2|}{4x+8}$

Můj výpočet..
$\frac{(x+2)-|x+2|}{4(x+2)}$
$D(f) \in R - \{-2\}$

a teď..?

$\frac{(x+2)-|x+2|}{4(x+2)}$

Jak mám krátit? Nechápu jak dojít k výsledku
$x->-2^{+} = 0$
$x->-2^{-} = \frac{1}{2}$

Prosím zase o radu O_o :-)

Andrejka3 · 12. 01. 2013 10:54

Rozepiš si definici $|x+2|$ Zvlášť na okolích, na kterých fci zkoumáš.

PanTau · 12. 01. 2013 11:18

Andrejka3 napsal(a):
Rozepiš si definici $|x+2|$ Zvlášť na okolích, na kterých fci zkoumáš.

Nevím co to znamená....

Andrejka3 · 12. 01. 2013 12:52

↑ PanTau:
$x>-2$ , pak $|x+2|= \dots$

PanTau · 12. 01. 2013 13:21

↑ Andrejka3:

Nechápu co znamená to $x>-2$ , snad když počítám absolutní hodnotu, výsledek se mi změní ze záporného na kladný (pokud je záporný)

Andrejka3 · 12. 01. 2013 13:51

↑ PanTau:
Pokud je $x>-2$ , pak $|x+2|= \dots$
Doplň.

Andrejka3 · 12. 01. 2013 14:17

Pokud je $x>-2$ , pak $|x+2|= x+2$ . Takže
$\lim_{x \to 2^+} \frac{(x+2)-|x+2|}{4x+8} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x+2)-(x+2)}{4x+8}=\lim_{x \to 2^+} 0 =0$ .

Možná je lepší si rozmyslet:

$f(x)=\frac{(x+2)-|x+2|}{4(x+2)}$
Protože $|g(x)|=\mathrm{sgn}(g(x)) \cdot g(x)$ , je $|x+2|=\mathrm{sgn}(x+2) \cdot (x+2)$ , tedy
$f(x)=\frac{(x+2)-|x+2|}{4(x+2)} = \frac{(x+2) -\mathrm{sgn}(x+2) \cdot (x+2)}{4(x+2)}=\frac{1-\mathrm{sgn}(x+2)}{4}$ .
$f(x)= \begin{cases} 0&,\text{ pokud }x>2\\ 1/4&,\text{ pokud }x=2\\ 1/2&,\text{ pokud }x<2\\ \end{cases}$

PanTau · 12. 01. 2013 15:01

Andrejka3 napsal(a):
↑ PanTau:
Pokud je $x>-2$ , pak $|x+2|= \dots$
Doplň.

Proč $x>-2$ ? To se tam vzalo kde? Co to znamená?

Co s tím má co společné sgn? O_o

PanTau · 12. 01. 2013 15:03

$f(x)=\frac{(x+2)-|x+2|}{4(x+2)}$

Nelze krátit?

Andrejka3

Lze krátit členem $x+2$ , pokud $x \neq -2$ .
To jsem udělala v posledním příspěvku. Zůstane znaménková fce signum.
Doufala jsem, že budeš rád, když ji znovu potkáš.

PanTau · 12. 01. 2013 15:17

↑ Andrejka3:

Proč lze krátit pouze v případě když $x \neq -2$ ?

Hihi, spíš se jí budu chtít vyhnout :-)))

Andrejka3 · 12. 01. 2013 15:29

↑ PanTau:
Protože $0 \cdot x=0$ pro každé $x \in \mathbb{R}$ .
Jak chceš tu rovnici zkrátit?
Jak dělit nulou?
Pokud je $x=-2$ , je $x+2=-2+2=0$ . Ale proč tě vůbec zajímá hodnota zadané fce v $x=-2$ ? Na ní přeci nakonec nezáleží, pokud v tomto bodě se liší levá a pravá limita té fce, nemůže být ta fce v bodě $-2$ spojitá.