Matematické Fórum

bejf · 12. 01. 2013 15:39

Ahoj, opět si nevím rady s jedním příkladem.
Mám řešit rovnici s neznámou $z$ a parametrem $t\in\mathbb{R}$ .
$\sqrt{z^2+t}=t-z$

Nemám problém dopočítat $z$ , to vyjde $z=\frac{t-1}{2}$ ,
ale spíš mi jde o jednotlivé případy:
Pokud $t=0$ , tak
$\sqrt{z^2}=-z\nl|z|=-z$ pak mohu vybrat pouze takové $z$ , aby se rovnalo $-z$ tedy $z\le 0$ .

S dalším případem si ovšem nějak neumím poradit. Něco mě asi na tom trochu mate.

((:-)) · 12. 01. 2013 16:07 — Editoval ((:-)) (12. 01. 2013 16:15)

↑ bejf:

Ty riešiš rovnicu s neznámou z.

Riešenie musíš uviesť pre všetky hodnoty parametra t.

Ak t = 0, tak Ti vyšlo, že riešením sú všetky záporné čísla a 0.

Ak t nie je 0, vyšlo Ti, že $z=\frac{t-1}{2}$ .

Pretože však na ľavej strane pôvodnej rovnice je nezáporné číslo, je jasné, že aj na pravej strane musí byť nezáporné číslo - to znamená, že uvedené riešenie nemusí byť správne pre všetky t rôzne od 0 ...

Pretože počas riešenia si umocňoval a to nie je ekvivalentná úprava, mal by si urobiť skúšku, či naozaj Tvoj koreň vyhovuje danej rovnici ...

Z úvah dostaneš podmienky, pre ktoré t rovnica má riešenie (jedno alebo viac) a pre ktoré t riešiteľná nie je.

bejf · 12. 01. 2013 16:44

↑ ((:-)):
Ahoj, velice děkuji za radu. Postupoval jsem tak, že jsem si dosadil kořen $z=\frac{t-1}{2}$ do původní rovnice.
Pak mi vyšlo
$\sqrt{(t+1)^2}=t+1\nl |t+1|=t+1$

Odtud mi vychází, že poslední rovnice má kladná řešení pouze v intervalu $\langle-1;+\infty)$ , takže vypočítaný kořen odpovídá pouze parametru $t\in\langle-1+\infty)$ .

Takže resumé bude:
$t=0\Rightarrow z\le 0\nl t\not=0\Rightarrow t\in\langle-1+\infty), z=\frac{t-1}{2};\nlt\not=0\Rightarrow t\in(-\infty,-1), K=\emptyset$

((:-)) · 12. 01. 2013 16:57 — Editoval ((:-)) (12. 01. 2013 16:57)

↑ bejf:

:-)

Myslím, že v podstate áno, iba tie intervaly pre t by sa asi mali písať "postupne" ...

$t\in (-\infty, -1)&\Rightarrow \color{red}K=\emptyset \\t\in\langle-1,0)&\Rightarrow \color{red}z = \frac{t-1}{2}\\t=0&\Rightarrow \color{red}z \leq 0\\t\in(0,\infty)&\Rightarrow \color{red}z = \frac{t-1}{2}$

bejf · 12. 01. 2013 17:17

↑ ((:-)):
A pravda, zapomněl jsem tam na tu nulu. Díky moc. :-)

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 15:39

Rovnice s parametrem a neznámou pod odmocninou

#2 12. 01. 2013 16:07 — Editoval ((:-)) (12. 01. 2013 16:15)

Re: Rovnice s parametrem a neznámou pod odmocninou

#3 12. 01. 2013 16:44

Re: Rovnice s parametrem a neznámou pod odmocninou

#4 12. 01. 2013 16:57 — Editoval ((:-)) (12. 01. 2013 16:57)

Re: Rovnice s parametrem a neznámou pod odmocninou

#5 12. 01. 2013 17:17

Re: Rovnice s parametrem a neznámou pod odmocninou

Zápatí