Matematické Fórum

hans66 · 12. 01. 2013 21:00

Ahoj, mohli by jste mi prosim poradit? jak na to?
Určete obsah obrazce ohraničeného parabolou $y=-x^{2}+4x-3$
a jejími tečnami v bodech $[0;-3] a [3;0]$
nemám tušení jak na to.
děkuji

Creatives

Najdš rovnice tečen a to $y'=-2x +4$ Směrnice těčny $t_{1}$ v bodě dotyku $T_{1}=[0;-3]$ je $k_{1}=y'(0)=4$ a směrnice tečny $t_{2}$ v bodě dotyku $T_{2}=[3;0]$ je $k_{2}=y'(3)=-2$

Rovnice tečny ke grafu funkce $f(x)$ v bodě dotyku $[x_{0},y_{0}]$ je $t:=y-y_{0}=y'(x_{0})(x-x_{0})$ Čili k dané parabole dostávámé rovnice tečen
$t_{1}:y+3=4(x-0)$ => $y=4x-3$

a

$t_{2}:y-0=-2(x-3)$ => $y=-2x+6$

Teď musíme najít průsečik tečen a to takhle:
$-2x+6=4x-3$ => $x=\frac{3}{2}$ => $y=3$

Průsečík je tedy $[\frac{3}{2},3]$
Obsah S spočteme jako součet obrazců S1 který je vymezen parabolou a tečnou t1 na intervalu $[0,\frac{3}{2}]$ a S2 je obsah obrazce vymezeny parabolou a tecnou t2 na intervalu $[\frac{3}{2},3]$

Čili
$S_{1}=\int_{0}^{\frac{3}{2}}-x^2+4x-3-(4x-3) dx$

a

$S_{2}=\int_{\frac{3}{2}}^{3}-x^2+4x-3-(-2x+6) dx$

a pro výsledek bude platit $S=S_{1}+S_{2}$

Brano · 12. 01. 2013 21:29

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 21:00

obsah obrazce

#2 12. 01. 2013 21:28 — Editoval Creatives (12. 01. 2013 22:41)

Re: obsah obrazce

#3 12. 01. 2013 21:29

Re: obsah obrazce

Zápatí