Matematické Fórum

terezka-1 · 12. 01. 2013 13:01

Prosím o kontrolu: Vyšetřete konvergenci: $\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n+100}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{n+100}*\frac{n+100}{1}=\frac{n+100}{n+101}$ .Vypočítala jsem limitu: $lim_{n\infty }n(1-\frac{n+100}{n+101})=lim_{n\infty }\frac{2n+100}{1}=\infty$

Geronimo · 12. 01. 2013 13:25

Ach, ten zapis.

Pocitas limitu $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+100}{n+101}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+101-1}{n+101}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1- \frac{1}{n+101} \right) = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+101}=1$

terezka-1 · 12. 01. 2013 13:41

↑ Geronimo:

Moc děkuji. Jsem úplně blbá a to mám před zkouškou. Ještě jenou moc díky.

terezka-1 · 12. 01. 2013 16:14

↑ Geronimo:
Prosím, napiš, zda je možné také použít srovnávací pravidlo. $\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n+100}\le \frac{1}{2n}\le \frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}$
Předem děkuji

Geronimo · 12. 01. 2013 17:02

Musela bys najit konvergentni posloupnost $(b_n)$ , kde od nejakeho indexu bude pro vsechny prvky teto posloupnosti platit, ze budou vetsi nebo rovny prvkum z posloupnosti $\sum \frac{1}{n+100}$ .

Konkretne ta tvoje rada $\sum \frac{1}{n}$ diverguje, takze musis hledat dal vhodnou radu.

terezka-1 · 12. 01. 2013 17:04

↑ Geronimo:
Díky

user · 12. 01. 2013 23:53

Pokud můžeš použít řadu $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n$ , tak si stačí uvědomit například:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n+100}=\sum_{n=101}^{+\infty}\frac1{n}$
A protože nezáleží na vynechání konečného počtu členů, tak řada diverguje.

Co se týká odhadu, tak je vždy potřeba odhadnout zdola divergentní pro divergenci. A shora konvergentní pro konvergenci.

Pozn. K prvnímu příspěvku ↑ terezka-1:, limitu jsi počítala správnou, je to použití Raabeova kritéria. Je to v tomto případě zbytečné. (Samotný výpočet se mi nezdá)

terezka-1 · 13. 01. 2013 10:59

↑ user:
Spočítala jsem to ještě jednou. Pokusím se to tady vypsat a prosím o kontrolu. Nejprve jsem použila podílové kriterium. $a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)+100}, a dostala jsem$ \frac{n+100}{n+101} $. Pak jsem použila Raabeho kriterium:$ lim_{n=\infty }\frac{n(n+101)-n-100}{n+101}=\frac{2n+100}{1}=\infty $. Takže jsem usoudila, že řada je konvergentní. Je to správně?

terezka-1 · 13. 01. 2013 11:03

↑ terezka-1:
Neobjevila se mi druhá část výpočtu, takže ji napíši ještě jednou. Použila jsem Raabeho kriterium:
$lim_{n=\infty }\frac{n(n+101)-n-100}{n+101}=\frac{2n+100}{1}=\infty$ Takže jsem usoudila, že řada je konvergentní. Je to tak správně?

jarrro · 13. 01. 2013 11:12

$n$1-\frac{n+100}{n+101}$=n$\frac{1}{n+101}$=\frac{n}{n+101}=1-\frac{101}{n+101}$
teda limita je jedna

terezka-1 · 13. 01. 2013 11:17

↑ jarrro:
Prosím, kde jsem udělala chybu. Pokud si vzpomínám, tak když vyjde 1, nelze ještě rozhodnout a je třeba počítat dál. Nebo se pletu?

jarrro · 13. 01. 2013 11:28 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:29)

↑ terezka-1:áno Raabe tu nepomôže tu skutočne je odhad napr.
od indexu n=100 je
$\frac{1}{n+100}>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}$
prípadne integrálne kritérium ten rad je divergentný
čo sa týka toho tvojho výpočtu tak nechápem ako si to počítala vôbec tak ani nemôže odhaliť chybu

terezka-1 · 13. 01. 2013 11:31

↑ jarrro:
↑ jarrro:
Tak to jsem zase v pytli. Budu počítat dál. Zatím moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 13:01

řady

#2 12. 01. 2013 13:25

Re: řady

#3 12. 01. 2013 13:41

Re: řady

#4 12. 01. 2013 16:14

Re: řady

#5 12. 01. 2013 17:02

Re: řady

#6 12. 01. 2013 17:04

Re: řady

#7 12. 01. 2013 23:53

Re: řady

#8 13. 01. 2013 10:59

Re: řady

#9 13. 01. 2013 11:03

Re: řady

#10 13. 01. 2013 11:12

Re: řady

#11 13. 01. 2013 11:17

Re: řady

#12 13. 01. 2013 11:28 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:29)

Re: řady

#13 13. 01. 2013 11:31

Re: řady

Zápatí