Matematické Fórum

PanTau · 12. 01. 2013 15:15

Dobrý den, potřeboval bych poradit jak na příklad typu z definice derivace vypočtěte.

Našel jsem si vzorec na wiki:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Příklad: Z definice derivace vypočtěte derivaci zleva a zprava funkce $f(x)=\sqrt{|x|}$ v bodě nula.

kaja.marik · 12. 01. 2013 16:23

Pro $x>0$ je $f(x)=\sqrt(x)$ a odvozeni $f'(x)$ je nejmin na stovce mist na netu. Treba tady je funcke o malinko slozitejsi, ale urcite by se dalo inspirovat.

http://www.youtube.com/watch?v=3bmw9UQxbRI

No a potom zvlast pro $x<0$

PanTau · 13. 01. 2013 09:35

↑ kaja.marik:

$x>0$ je derivace z prava?
$x<0$ je derivace z leva?

PanTau · 13. 01. 2013 10:25

↑ PanTau:

Koumal jsem příklad, a zjistil že existují dva vzorce pro výpočet.

$\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}$

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Jak se rozhodnout který vybrat?

jarrro · 13. 01. 2013 10:46 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 10:51)

ved najprv si napíš čo potrebuješ spočítať
potrebuješ spočítať
$\lim_{h\to 0}{\frac{\sqrt{\left|x+h\right|}-\sqrt{\left|x\right|}}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\left|x+h\right|-\left|x\right|}{h$\sqrt{\left|x+h\right|}+\sqrt{\left|x\right|}$}}=\nl =\frac{1}{2\sqrt{\left|x\right|}}\lim_{h\to 0}{\frac{\left|x+h\right|-\left|x\right|}{h}}$
pre $x\neq 0$ teda stačí skúmať limitu
$\lim_{h\to 0}{\frac{\left|x+h\right|-\left|x\right|}{h}}$
ak je $x>0$ tak pre h s malou absolútnou hodnotou je aj $x+h>0$
teda
$\lim_{h\to 0}{\frac{\left|x+h\right|-\left|x\right|}{h}}=\lim_{h\to 0}{1}=1$
podobne ak $x<0$ tak aj $x+h<0$
teda
$\lim_{h\to 0}{\frac{\left|x+h\right|-\left|x\right|}{h}}=\lim_{h\to 0}{$-1$}=-1$
dostali sme teda, že
$x\neq 0\Rightarrow f^{\prime}{$x$}=$\sqrt{\left|x\right|}$^{\prime}=\frac{\mathrm{sign}{$x$}}{2\sqrt{\left|x\right|}}$
pre $x=0$ počítajme limitu
$\lim_{h\to 0}{\frac{\sqrt{\left|h\right|}}{h}}$
rozdeľme to na limitu sprava a na limitu zľava
$\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{\left|h\right|}}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{h}}{h}}=\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{1}{\sqrt{h}}}=\infty$
$\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{-h}}{h}}=-\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{-h}}{-h}}=-\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{\sqrt{h}}{h}}=-\infty$
to je jedno či počítaš
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ alebo
$\lim_{h\to 0}{\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}}$
druhá limita vznikne z prvej substitúciou $h=x-x_0$
prvý zápis sa používa skôr v prípadoch keď je zadaný konkrétny bod teda sa chceme dostať ku číslu a druhý keď sa chce odvodiť derivácia ako funkcia
čo sa týka derivácie sprava resp. zľava tak to sú limity
$\lim_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ resp.
$\lim_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
prípadne
$\lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}}$ resp.
$\lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}}$

PanTau · 13. 01. 2013 11:02

↑ jarrro:
To je strašně náročné.

Pochopil jsem to z toho, ale sám pro jiný druh příkladu, nevim jak bych to zvládl, děkuji ti za pomoc.

jarrro · 13. 01. 2013 11:18 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:21)

prečo na všetko píšeš, že je náročné? stačí len začať písať a niečo vyjde myslíš, že keby to bolo náročné tak na to prídem ja ? náročné veci vie riešiť len pár ľudí na planéte doslova

PanTau · 13. 01. 2013 11:32

↑ jarrro:
Tak schválně, říkáš něco začni psát, zkusme si příklad

vypočti první derivaci funkce $f(x)=cos x$ v bodě 5

Počítám konkrétní bod 5 takže:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$\lim_{x\to x_0}\frac{cos x-5}{x-5}$

Mám to zapsaný správně?

jarrro · 13. 01. 2013 11:41 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:42)

$\lim_{x\to \color{red}5\color{black}}\frac{\cos{$x$}-\color{blue}\cos{\color{black}$5$}}{x-5}$

PanTau · 13. 01. 2013 12:27

↑ jarrro:

Děkuji za opravu, teď dosadím za x a vyjde 0? - to je asi špatný postup.

jarrro · 13. 01. 2013 12:40 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 12:40)

↑ PanTau:nie nevyjde nula ja by som to
upravil na
$\lim_{h\to 0}\frac{\cos{$h+5$}-\cos{$5$}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos{$h$}\cos{$5$}-\sin{$h$}\sin{$5$}-\cos{$5$}}{h}=\nl = \lim_{h\to 0}{\frac{\cos{$5$}$\cos{\(h$}-1\)}{h}}-\lim_{h\to 0}{\frac{\sin{$5$}\sin{$h$}}{h}}$
druhá limita je známa
prvá sa tiež dá odvodiť z druhej stačí si uvedomiť, že
$\frac{\cos{$h$}-1}{h}=-h\cdot\frac{1-\cos{$h$}}{h^2}=-h\cdot\frac{\sin^2{$h$}}{h^2$1+\cos{\(h$}\)}$

PanTau · 13. 01. 2013 13:02

↑ jarrro:

A podle jakých pravidel jsi upravoval? Nebo jsi použil druhý vzorec?

jarrro · 13. 01. 2013 13:17

↑ PanTau:aký druhý vzorec je len jeden limita pomeru prírastkov
vždy môžeš spojitou substitúciou prejsť k novej premennej a lepšie sa pracuje s kosínusom súčtu ako s rozdielom kosínusov aspoň teda mne

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 15:15

Z definice derivace vypočtěte

#2 12. 01. 2013 16:23

Re: Z definice derivace vypočtěte

#3 13. 01. 2013 09:35

Re: Z definice derivace vypočtěte

#4 13. 01. 2013 10:25

Re: Z definice derivace vypočtěte

#5 13. 01. 2013 10:46 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 10:51)

Re: Z definice derivace vypočtěte

#6 13. 01. 2013 11:02

Re: Z definice derivace vypočtěte

#7 13. 01. 2013 11:18 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:21)

Re: Z definice derivace vypočtěte

#8 13. 01. 2013 11:32

Re: Z definice derivace vypočtěte

#9 13. 01. 2013 11:41 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 11:42)

Re: Z definice derivace vypočtěte

#10 13. 01. 2013 12:27

Re: Z definice derivace vypočtěte

#11 13. 01. 2013 12:40 — Editoval jarrro (13. 01. 2013 12:40)

Re: Z definice derivace vypočtěte

#12 13. 01. 2013 13:02

Re: Z definice derivace vypočtěte

#13 13. 01. 2013 13:17

Re: Z definice derivace vypočtěte

Zápatí