Matematické Fórum

PanTau · 13. 01. 2013 13:12 — Editoval PanTau (13. 01. 2013 13:17)

Rozložte na parciální zlomky:

$\frac{x-2}{(x+1)(x-1)^{2}}$

Začal jsem takto:

$\frac{x-2}{(x+1)(x-1)(x-1)}$

$\frac{x-2}{(x+1)(x-1)(x-1)} = \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)}$

Dále:

$x-2=A((x-1)(x-1))+B((x+1)(x-1))+C((x-1)(x+1))$

$x-2=A(x^{2}-2x+1)+B(x-1)^{2}+C(x-1)^{2}$

A jak dále počítat? Postupoval jsem správně? Dále je třeba vyjádřit A,B,C, jak na to? Mám si zvolit x? Nebo jak?

Prosím o radu, děkuji.

jarrro · 13. 01. 2013 13:21

$\frac{x-2}{$x+1$$x-1$^2} = \frac{A}{$x+1$}+\frac{B}{$x-1$}+\frac{C}{(x-1)^{\color{red}2\color{black}}}$

PanTau · 13. 01. 2013 13:28

↑ jarrro:

Aha, takže dále jako oprava:

$x-2=A(x-1)(x-1)^{2}+B(x+1)(x-1)^{2}+C(x+1)(x-1)$

$x-2=A(x^{3}-3x^{2}+3x-1)+B(x^{3}-x^{2}-x+1)+C(x^{2}-1)$

(snad jsem vše naťukal správně, výpočet jsem dělal na wolframu),

Jak mám postupovat dále? Zvolit si x pro A? Nebo jak?

Blackflower · 13. 01. 2013 13:43

↑ PanTau: Teraz treba vyňať z výrazu na pravej strane rovnice jednotlivé mocniny x a potom to porovnáš s ľavou stranou.
Náznak : $x-2=x^3(A+B)+x^2(-3A-B+C)+...$
Potom vidíme, že $x^3$ sa na ľavej strane nachádza nula krát, čiže aj na pravej sa musí nachádzať nula krát. V tomto prípade musí teda platiť, že A+B=0.
Dúfam, že je to aspoň trochu zrozumiteľné.

PanTau · 13. 01. 2013 13:53

$x-2=x^3(A+B)+x^2(-3A-B+C)+x(3A-B)+1(-A+B-C)$

A+B=0

-3A-B+C=0

3A-B=1

-A+B-C=-2

---------------------------
Mohu dále pokračovat jako

A+B=0
3A-B=1

4A=1 =>

$A=\frac{1}{4}$
$B=-\frac{1}{4}$
$C=2$

----------------------------------

Blackflower · 13. 01. 2013 14:03

↑ PanTau: Priznám sa, že až teraz som si uvedomila (keď mi vychádzali dve rôzne hodnoty C), že posledný parciálny zlomok by asi mal byť $\frac{Cx+D}{(x-1)^2}$ dole je totiž druhá mocnina x, takže hore sa môže vyskytnúť aj prvá (teda v čitateli môže byť napríklad 4x-7). Tvoj postup je dobrý.

PanTau · 13. 01. 2013 14:05

A jak se tedy počítá s tím

$\frac{Cx+D}{(x-1)^2}$

?

Blackflower

↑ PanTau: V princípe je to to isté, len ti v rovnici vznikne $(Cx+D)(x+1)(x-1)$ namiesto pôvodného $C(x+1)(x-1)$ .

Brano · 13. 01. 2013 14:40

↑ Blackflower:
nie, ma tam byt iba konstantny clen, teda iba to $C$
vysledok je tu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pa … %29%5E2%5D

Blackflower · 13. 01. 2013 21:15

↑ PanTau: Ospravedlňujem sa, dúfam, že som ťa moc nepomýlila... mňa zmiatlo to, že mi vychádzali dve rôzne hodnoty C.
↑ Brano: Cx+D sa používa vtedy, keď sa polynóm nedá nejako rozumne rozložiť, či?

Brano · 13. 01. 2013 21:23 — Editoval Brano (13. 01. 2013 21:25)

↑ Blackflower:
Ako ti mohli vychadzat dve hodnoty, ak ma linearny system aspon dve riesenia, tak ich ma nekonecne vela.
---
Ano $Cx+D$ zodpoveda kvadratickym nerozlozitelnym polynomom.
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fr … ral_result

Blackflower · 13. 01. 2013 21:38

↑ Brano: No veď práve to sa mi zdalo divné, že vychádzajú dve riešenia... ale ako som sa pozrela do wolframu, tak som zistila, že aj A a B mi vyšli inak (tak isto ako ↑ PanTau:). Nevedela som, kde je chyba.

Brano · 13. 01. 2013 21:52

↑ Blackflower:
uz som to objavil, treba poriadne davat na spolocneho menovatela :-) na pravej strane ma ↑ PanTau: o jedno (x-1) naviac.

Blackflower · 13. 01. 2013 21:55

↑ Brano: už to vidím aj ja :)

PanTau · 16. 01. 2013 09:58

↑ Blackflower:

Ahoj, omlouvám se za opožděnou reakci k tomuto tématu,

docela jsem se do toho zamotal, ale snad jsem vyčetl správně, že mám pokračovat..

$x-2=x^3(A+B)+x^2(-3A-B+C)+x(3A-B)+1(-A+B-C)$

A+B=0

-3A-B+C=0

3A-B=1

-A+B-C=-2

Je tomu tak?

Blackflower · 16. 01. 2013 10:10

↑ PanTau: Ešteže máme kolegu Braňa, lebo tam máme chybu hneď na začiatku, ktorú som aj ja prehliadla... v tomto tvojom zápise ↑ PanTau: v prvom riadku sú nejaké zátvorky navyše.

PanTau · 16. 01. 2013 10:14

Néjaké, hihi :-)

Tak takhle?

$x-2=A(x-2)^{2}+B(x+1)(x-1)^{2}+C(x+1)(x-1)$

Blackflower · 16. 01. 2013 10:19

↑ PanTau: Už sa mi to konečne podarilo dopočítať správne. Má to vyzerať takto :
$x-2=A(x-1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x+1)$

Blackflower

↑ PanTau: Treba si uvedomiť, že rovnicu $\frac{x-2}{$x+1$$x-1$^2} = \frac{A}{$x+1$}+\frac{B}{$x-1$}+\frac{C}{(x-1)^2}$ násobíš výrazom $(x+1)(x-1)^2$ . Keď násobíš každý sčítanec, napríklad pri B sa ti jedno $(x-1)$ vykráti s menovateľom. Ostane ti tam teda $(x+1)(x-1)$ . Podobne pri C sa vykráti $(x-1)^2$ , čiže pri ňom bude iba $(x+1)$ .

PanTau · 16. 01. 2013 12:32

↑ Blackflower:
Děkuji, kdybych nebyl hlupák a rozepsal si to, tak bych to viděl

Takže, výpočet...

$x-2=A(x-1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x+1)$

$x-2=A(x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-1)+C(x+1)$

$x-2=x^{2}(A+B)+x(2A+C)+1(A-B+C)$

$A+B=0$
$2A+C=1$
$A-B+C=-2$

----> Ale z toho bohužel nevím jak dostat A,B,C :-(

Blackflower

↑ PanTau: Ale čo, aký hlupák... veď sa pozri, koľko chýb som ja narobila v tejto téme, keď som sa ti snažila pomôcť. :D
Teraz vyjadri z prvej rovnice jednu z premenných a dosaď do zvyšných dvoch. Výsledok si môžeš overiť napríklad vo wolframe.

PanTau · 16. 01. 2013 12:46

↑ Blackflower:

Myslíš jako
$A+B=0$

$A=-B => B = -A$

Ale když dosadím, vznikne mi zase co neumím vyřešit

$-2B+C=1$
$-2B+C=-2$
--------------------------------------

Blackflower · 16. 01. 2013 13:04

↑ PanTau: Môj postup:
A+B=0
-2A+C=1 (máš tam chybu, len som si to predtým nevšimla)
A-B+C=2

z 1. rovnice: A=-B
Druhé dve rovnice:
-2(-B)+C=1
-B-B+C=-2
To ide pekne sčítacou metódou.

PanTau · 16. 01. 2013 13:16

Ah, tak jsem se konečně dokopal k výsledku jako je na wolframu.

Moc ti děkuji za pomoc a za snahu, teď to již chápu, jen doufám, že nedostanu do písemky zase nějaký ,,vejmysl,, Hihi,

Ještě jednou moc děkuji, určitě se opět ozvu s matematickou pomocí :))))))))))

Blackflower · 16. 01. 2013 13:37

↑ PanTau: Rada som pomohla a držím palce na písomke :)

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2013 13:12 — Editoval PanTau (13. 01. 2013 13:17)

Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#2 13. 01. 2013 13:21

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#3 13. 01. 2013 13:28

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#4 13. 01. 2013 13:43

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#5 13. 01. 2013 13:53

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#6 13. 01. 2013 14:03

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#7 13. 01. 2013 14:05

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#8 13. 01. 2013 14:11 — Editoval Blackflower (13. 01. 2013 14:12)

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#9 13. 01. 2013 14:40

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#10 13. 01. 2013 21:15

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#11 13. 01. 2013 21:23 — Editoval Brano (13. 01. 2013 21:25)

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#12 13. 01. 2013 21:38

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#13 13. 01. 2013 21:52

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#14 13. 01. 2013 21:55

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#15 16. 01. 2013 09:58

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#16 16. 01. 2013 10:10

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#17 16. 01. 2013 10:14

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#18 16. 01. 2013 10:19

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#19 16. 01. 2013 10:22 — Editoval Blackflower (16. 01. 2013 10:23)

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#20 16. 01. 2013 12:32

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#21 16. 01. 2013 12:37 — Editoval Blackflower (16. 01. 2013 12:40)

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#22 16. 01. 2013 12:46

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#23 16. 01. 2013 13:04

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#24 16. 01. 2013 13:16

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

#25 16. 01. 2013 13:37

Re: Parcalni zlomky - kontrola doplneni

Zápatí