Matematické Fórum

Optix · 13. 01. 2013 18:18

Dobrý večer,
Ach ty limity nějak s nimi bojuji doufám že mi prosím poradite s tou to:
$\lim_{a\to\infty } \frac{1}{\sqrt{n^{2}+2n+5}-\sqrt[3]{n^{3}+5}}$

Snažil jsem se vytýkat "silnější" člen, usměrňovat a další věci ale dělám tam něco špatně, kdyby se někdo našel kdo by mi to o trošku více rozepsal byl bych strašně vděčný!!! předem děkuji :))

Brano · 13. 01. 2013 18:40

Dalo by sa to snad aj nejak cez vzorec pre $a^6-b^6$ ale to by bola fakt strasna otrava - ja navrhujem Taylorov rozvoj tych odmocnin, t.j. najprv vyjmes veduci clen a potom rozvinies funkciu.

$(1+x)^p=1+px+o(x)$

cize $\sqrt[3]{n^3+5}=n\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{1/3}=n+\frac{5}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ .
podobne druhy (teda vlastne prvy:) clen, odcitas a ak ti nevyjde 0 (co nevyjde) tak dosadis a mas.

Optix · 14. 01. 2013 08:56

děkuji, Taylorův rozvoj si nějak nevybavuji ale asi si ho tedy budu muset doplnit :D, jenom prosím tě nemohl bys mi ještě nějakým způsobem lehce dovysvětlit jak jsi získal z
$n(1+\frac{5}{n^{3}})^{1/3}$

toto
$n+\frac{5}{3n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$

a co to "o" vlastně značí?
Předem moc děkuji!

Brano · 14. 01. 2013 15:12 — Editoval Brano (14. 01. 2013 15:13)

$o(f)$ znaci, ze sa jedna o nejaku funkciu co klesa k nule este rychlejsie ako $f$ - toto znacenie sa dost casto pouziva pri rozvojoch na to aby sme mali predstavu aky je asi zvysok.
http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_nota … o_notation
tu mas k Taylorovi
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series
ku koncu tam pouzivaju velke $O$ ale to nie je az taky rozdiel
a k otazke - z Taylorovho rozvoja mame
$\left(1+\frac{5}{n^{3}}\right)^{1/3}=1+\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{n^3}+...$
kde tie tri bodky su za cleny co maju v menovateli $n$ na cosi vyssie ako na tretiu a preto ich znacim $o(1/n^3)$
- no a potom staci celu rovnost prenasobit $n$ a mas to (lahko nahliadnes, ze $n\,o(1/n^3)=o(1/n^2)$ , kedze cleny s mocninou aspon 3 v menovateli sa zmenia po prenasobeni $n$ na cleny s mocninou aspon 2)
skus to zopakovat a napisat sem pre ten druhy clen, aby si si to vyskusal a rovno ti to mozem opravit, ak by tam bola chyba.